Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37261 / 26735
↖ ↑ ↗
← N 31.433350°
E 24.680786°		 ← 521.15 m → N 31.433350°
E 24.686279°		 →
↑
521.21 m
↓
↑
521.21 m
↓
N 31.428663°
E 24.680786°		 ← 521.18 m →
271 638 m²		 N 31.428663°
E 24.686279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568565368652344 y=0.407951354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568565368652344 × 216)
    floor (0.568565368652344 × 65536)
    floor (37261.5)     		tx = 37261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407951354980469 × 216)
    floor (0.407951354980469 × 65536)
    floor (26735.5)     		ty = 26735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37261 / 26735 ti = "16/37261/26735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37261/26735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37261 ÷ 216
    37261 ÷ 65536     		x = 0.568557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26735 ÷ 216
    26735 ÷ 65536     		y = 0.407943725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568557739257812 × 2 - 1) × π
    0.137115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43076098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407943725585938 × 2 - 1) × π
    0.184112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.578406630815598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43076098} λ = 0.43076098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578406630815598))-π/2
    2×atan(1.78319487816849)-π/2
    2×1.05970589189627-π/2
    2.11941178379255-1.57079632675     		φ = 0.54861546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43076098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.680786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54861546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.433350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37261 KachelY 26735 0.43076098 0.54861546 24.680786 31.433350
    Oben rechts KachelX + 1 37262 KachelY 26735 0.43085685 0.54861546 24.686279 31.433350
    Unten links KachelX 37261 KachelY + 1 26736 0.43076098 0.54853365 24.680786 31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 37262 KachelY + 1 26736 0.43085685 0.54853365 24.686279 31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54861546-0.54853365) × R
    8.1810000000071e-05 × 6371000     		dl = 521.211510000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54861546-0.54853365) × R
    8.1810000000071e-05 × 6371000     		dr = 521.211510000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43076098-0.43085685) × cos(0.54861546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853247386080497 × 6371000     		do = 521.153068202424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43076098-0.43085685) × cos(0.54853365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 521.179125374392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54861546)-sin(0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853247386080497-0.853290047661569)×R²
    abs(0.43085685-0.43076098)×4.26615810718012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26615810718012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26615810718012e-05×40589641000000     		ar = 271637.768419393m²