Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3726 / 5370
↖ ↑ ↗
← S 48.748945°
W 16.259766°		 ← 3 221.96 m → S 48.748945°
W 16.215821°		 →
↑
3 221.05 m
↓
↑
3 221.05 m
↓
S 48.777913°
W 16.259766°		 ← 3 220.10 m →
10 375 092 m²		 S 48.777913°
W 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45489501953125 y=0.65557861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45489501953125 × 213)
    floor (0.45489501953125 × 8192)
    floor (3726.5)     		tx = 3726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65557861328125 × 213)
    floor (0.65557861328125 × 8192)
    floor (5370.5)     		ty = 5370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3726 / 5370 ti = "13/3726/5370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3726/5370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3726 ÷ 213
    3726 ÷ 8192     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5370 ÷ 213
    5370 ÷ 8192     		y = 0.655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977145761855225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977145761855225))-π/2
    2×atan(0.376383856330273)-π/2
    2×0.359983361847825-π/2
    0.719966723695649-1.57079632675     		φ = -0.85082960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85082960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.748945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3726 KachelY 5370 -0.28378645 -0.85082960 -16.259766 -48.748945
    Oben rechts KachelX + 1 3727 KachelY 5370 -0.28301946 -0.85082960 -16.215821 -48.748945
    Unten links KachelX 3726 KachelY + 1 5371 -0.28378645 -0.85133518 -16.259766 -48.777913
    Unten rechts KachelX + 1 3727 KachelY + 1 5371 -0.28301946 -0.85133518 -16.215821 -48.777913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85082960--0.85133518) × R
    0.000505580000000005 × 6371000     		dl = 3221.05018000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85082960--0.85133518) × R
    0.000505580000000005 × 6371000     		dr = 3221.05018000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28301946) × cos(-0.85082960) × R
    0.000766990000000023 × 0.65935965662025 × 6371000     		do = 3221.95653777165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28301946) × cos(-0.85133518) × R
    0.000766990000000023 × 0.658979463333936 × 6371000     		du = 3220.09872582917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85082960)-sin(-0.85133518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65935965662025-0.658979463333936)×R²
    abs(-0.28301946--0.28378645)×0.000380193286314112×R²
    0.000766990000000023×0.000380193286314112×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380193286314112×40589641000000     		ar = 10375091.8541972m²