Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3726 / 3662
↖ ↑ ↗
← S 80.386396°
E147.480469°		 ← 1 632.12 m → S 80.386396°
E147.568359°		 →
↑
1 630.91 m
↓
↑
1 630.91 m
↓
S 80.401063°
E147.480469°		 ← 1 629.65 m →
2 659 828 m²		 S 80.401063°
E147.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9097900390625 y=0.8941650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9097900390625 × 212)
    floor (0.9097900390625 × 4096)
    floor (3726.5)     		tx = 3726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8941650390625 × 212)
    floor (0.8941650390625 × 4096)
    floor (3662.5)     		ty = 3662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3726 / 3662 ti = "12/3726/3662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3726/3662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3726 ÷ 212
    3726 ÷ 4096     		x = 0.90966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3662 ÷ 212
    3662 ÷ 4096     		y = 0.89404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90966796875 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57401976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47584499157666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57401976} λ = 2.57401976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47584499157666))-π/2
    2×atan(0.0840919032776556)-π/2
    2×0.0838945228831584-π/2
    0.167789045766317-1.57079632675     		φ = -1.40300728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57401976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40300728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.386396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3726 KachelY 3662 2.57401976 -1.40300728 147.480469 -80.386396
    Oben rechts KachelX + 1 3727 KachelY 3662 2.57555374 -1.40300728 147.568359 -80.386396
    Unten links KachelX 3726 KachelY + 1 3663 2.57401976 -1.40326327 147.480469 -80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 3727 KachelY + 1 3663 2.57555374 -1.40326327 147.568359 -80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40300728--1.40326327) × R
    0.000255990000000095 × 6371000     		dl = 1630.9122900006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40300728--1.40326327) × R
    0.000255990000000095 × 6371000     		dr = 1630.9122900006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57401976-2.57555374) × cos(-1.40300728) × R
    0.00153398000000005 × 0.167002855534975 × 6371000     		do = 1632.11666596503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57401976-2.57555374) × cos(-1.40326327) × R
    0.00153398000000005 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 1629.64995974406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40300728)-sin(-1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167002855534975-0.166750455083917)×R²
    abs(2.57555374-2.57401976)×0.000252400451057733×R²
    0.00153398000000005×0.000252400451057733×6371000²
    0.00153398000000005×0.000252400451057733×40589641000000     		ar = 2659827.65301807m²