Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3726 / 2414
↖ ↑ ↗
← N 59.220934°
W 16.259766°		 ← 2 500.56 m → N 59.220934°
W 16.215821°		 →
↑
2 501.38 m
↓
↑
2 501.38 m
↓
N 59.198439°
W 16.259766°		 ← 2 502.21 m →
6 256 918 m²		 N 59.198439°
W 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45489501953125 y=0.29473876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45489501953125 × 213)
    floor (0.45489501953125 × 8192)
    floor (3726.5)     		tx = 3726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29473876953125 × 213)
    floor (0.29473876953125 × 8192)
    floor (2414.5)     		ty = 2414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3726 / 2414 ti = "13/3726/2414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3726/2414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3726 ÷ 213
    3726 ÷ 8192     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2414 ÷ 213
    2414 ÷ 8192     		y = 0.294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294677734375 × 2 - 1) × π
    0.41064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29007784257495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29007784257495))-π/2
    2×atan(3.63306935221922)-π/2
    2×1.30219830625568-π/2
    2.60439661251136-1.57079632675     		φ = 1.03360029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03360029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.220934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3726 KachelY 2414 -0.28378645 1.03360029 -16.259766 59.220934
    Oben rechts KachelX + 1 3727 KachelY 2414 -0.28301946 1.03360029 -16.215821 59.220934
    Unten links KachelX 3726 KachelY + 1 2415 -0.28378645 1.03320767 -16.259766 59.198439
    Unten rechts KachelX + 1 3727 KachelY + 1 2415 -0.28301946 1.03320767 -16.215821 59.198439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03360029-1.03320767) × R
    0.000392620000000177 × 6371000     		dl = 2501.38202000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03360029-1.03320767) × R
    0.000392620000000177 × 6371000     		dr = 2501.38202000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28301946) × cos(1.03360029) × R
    0.000766990000000023 × 0.511728990100129 × 6371000     		do = 2500.56027642283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28301946) × cos(1.03320767) × R
    0.000766990000000023 × 0.512066268915973 × 6371000     		du = 2502.20838709331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03360029)-sin(1.03320767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511728990100129-0.512066268915973)×R²
    abs(-0.28301946--0.28378645)×0.000337278815843556×R²
    0.000766990000000023×0.000337278815843556×6371000²
    0.000766990000000023×0.000337278815843556×40589641000000     		ar = 6256917.87294797m²