Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37259 / 26762
↖ ↑ ↗
← N 31.306715°
E 24.669800°		 ← 521.91 m → N 31.306715°
E 24.675293°		 →
↑
521.91 m
↓
↑
521.91 m
↓
N 31.302022°
E 24.669800°		 ← 521.94 m →
272 398 m²		 N 31.302022°
E 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568534851074219 y=0.408363342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568534851074219 × 216)
    floor (0.568534851074219 × 65536)
    floor (37259.5)     		tx = 37259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408363342285156 × 216)
    floor (0.408363342285156 × 65536)
    floor (26762.5)     		ty = 26762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37259 / 26762 ti = "16/37259/26762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37259/26762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37259 ÷ 216
    37259 ÷ 65536     		x = 0.568527221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26762 ÷ 216
    26762 ÷ 65536     		y = 0.408355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568527221679688 × 2 - 1) × π
    0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408355712890625 × 2 - 1) × π
    0.18328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.575818038236115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43056923} λ = 0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575818038236115))-π/2
    2×atan(1.77858488241372)-π/2
    2×1.05860079211045-π/2
    2.1172015842209-1.57079632675     		φ = 0.54640526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54640526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.306715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37259 KachelY 26762 0.43056923 0.54640526 24.669800 31.306715
    Oben rechts KachelX + 1 37260 KachelY 26762 0.43066511 0.54640526 24.675293 31.306715
    Unten links KachelX 37259 KachelY + 1 26763 0.43056923 0.54632334 24.669800 31.302022
    Unten rechts KachelX + 1 37260 KachelY + 1 26763 0.43066511 0.54632334 24.675293 31.302022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54640526-0.54632334) × R
    8.19199999999576e-05 × 6371000     		dl = 521.91231999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54640526-0.54632334) × R
    8.19199999999576e-05 × 6371000     		dr = 521.91231999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43056923-0.43066511) × cos(0.54640526) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854397934480848 × 6371000     		do = 521.910242786529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43056923-0.43066511) × cos(0.54632334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854440498823238 × 6371000     		du = 521.936243278073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54640526)-sin(0.54632334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854397934480848-0.854440498823238)×R²
    abs(0.43066511-0.43056923)×4.25643423900279e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25643423900279e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25643423900279e-05×40589641000000     		ar = 272398.17078518m²