Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37256 / 28040
↖ ↑ ↗
← N 25.125393°
E 24.653320°		 ← 553 m → N 25.125393°
E 24.658813°		 →
↑
553.07 m
↓
↑
553.07 m
↓
N 25.120419°
E 24.653320°		 ← 553.02 m →
305 849 m²		 N 25.120419°
E 24.658813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568489074707031 y=0.427864074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568489074707031 × 216)
    floor (0.568489074707031 × 65536)
    floor (37256.5)     		tx = 37256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427864074707031 × 216)
    floor (0.427864074707031 × 65536)
    floor (28040.5)     		ty = 28040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37256 / 28040 ti = "16/37256/28040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37256/28040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37256 ÷ 216
    37256 ÷ 65536     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28040 ÷ 216
    28040 ÷ 65536     		y = 0.4278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.453291322807251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453291322807251))-π/2
    2×atan(1.57348251109302)-π/2
    2×1.00465857685515-π/2
    2.00931715371031-1.57079632675     		φ = 0.43852083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43852083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.125393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37256 KachelY 28040 0.43028161 0.43852083 24.653320 25.125393
    Oben rechts KachelX + 1 37257 KachelY 28040 0.43037748 0.43852083 24.658813 25.125393
    Unten links KachelX 37256 KachelY + 1 28041 0.43028161 0.43843402 24.653320 25.120419
    Unten rechts KachelX + 1 37257 KachelY + 1 28041 0.43037748 0.43843402 24.658813 25.120419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43852083-0.43843402) × R
    8.68099999999927e-05 × 6371000     		dl = 553.066509999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43852083-0.43843402) × R
    8.68099999999927e-05 × 6371000     		dr = 553.066509999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43037748) × cos(0.43852083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905380710096002 × 6371000     		do = 552.995464920541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43037748) × cos(0.43843402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905417566272828 × 6371000     		du = 553.017976222595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43852083)-sin(0.43843402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905380710096002-0.905417566272828)×R²
    abs(0.43037748-0.43028161)×3.68561768258058e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68561768258058e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68561768258058e-05×40589641000000     		ar = 305849.497145056m²