Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37256 / 26763
↖ ↑ ↗
← N 31.302022°
E 24.653320°		 ← 521.88 m → N 31.302022°
E 24.658813°		 →
↑
521.91 m
↓
↑
521.91 m
↓
N 31.297328°
E 24.653320°		 ← 521.91 m →
272 383 m²		 N 31.297328°
E 24.658813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568489074707031 y=0.408378601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568489074707031 × 216)
    floor (0.568489074707031 × 65536)
    floor (37256.5)     		tx = 37256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408378601074219 × 216)
    floor (0.408378601074219 × 65536)
    floor (26763.5)     		ty = 26763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37256 / 26763 ti = "16/37256/26763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37256/26763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37256 ÷ 216
    37256 ÷ 65536     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26763 ÷ 216
    26763 ÷ 65536     		y = 0.408370971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408370971679688 × 2 - 1) × π
    0.183258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.575722164436874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575722164436874))-π/2
    2×atan(1.7784143708977)-π/2
    2×1.0585598339022-π/2
    2.11711966780439-1.57079632675     		φ = 0.54632334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54632334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.302022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37256 KachelY 26763 0.43028161 0.54632334 24.653320 31.302022
    Oben rechts KachelX + 1 37257 KachelY 26763 0.43037748 0.54632334 24.658813 31.302022
    Unten links KachelX 37256 KachelY + 1 26764 0.43028161 0.54624142 24.653320 31.297328
    Unten rechts KachelX + 1 37257 KachelY + 1 26764 0.43037748 0.54624142 24.658813 31.297328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54632334-0.54624142) × R
    8.19200000000686e-05 × 6371000     		dl = 521.912320000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54632334-0.54624142) × R
    8.19200000000686e-05 × 6371000     		dr = 521.912320000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43037748) × cos(0.54632334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854440498823238 × 6371000     		do = 521.881806873922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43037748) × cos(0.54624142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854483057431574 × 6371000     		du = 521.907801151402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54632334)-sin(0.54624142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854440498823238-0.854483057431574)×R²
    abs(0.43037748-0.43028161)×4.25586083369067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25586083369067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25586083369067e-05×40589641000000     		ar = 272383.328110559m²