Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37255 / 38230
↖ ↑ ↗
← S 28.719496°
E 24.647827°		 ← 535.65 m → S 28.719496°
E 24.653320°		 →
↑
535.61 m
↓
↑
535.61 m
↓
S 28.724313°
E 24.647827°		 ← 535.63 m →
286 893 m²		 S 28.724313°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568473815917969 y=0.583351135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568473815917969 × 216)
    floor (0.568473815917969 × 65536)
    floor (37255.5)     		tx = 37255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583351135253906 × 216)
    floor (0.583351135253906 × 65536)
    floor (38230.5)     		ty = 38230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37255 / 38230 ti = "16/37255/38230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37255/38230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37255 ÷ 216
    37255 ÷ 65536     		x = 0.568466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38230 ÷ 216
    38230 ÷ 65536     		y = 0.583343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568466186523438 × 2 - 1) × π
    0.136932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43018574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.16668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.523662691449493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43018574} λ = 0.43018574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523662691449493))-π/2
    2×atan(0.592346985616636)-π/2
    2×0.534773280108725-π/2
    1.06954656021745-1.57079632675     		φ = -0.50124977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43018574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50124977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.719496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37255 KachelY 38230 0.43018574 -0.50124977 24.647827 -28.719496
    Oben rechts KachelX + 1 37256 KachelY 38230 0.43028161 -0.50124977 24.653320 -28.719496
    Unten links KachelX 37255 KachelY + 1 38231 0.43018574 -0.50133384 24.647827 -28.724313
    Unten rechts KachelX + 1 37256 KachelY + 1 38231 0.43028161 -0.50133384 24.653320 -28.724313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50124977--0.50133384) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dl = 535.609969999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50124977--0.50133384) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dr = 535.609969999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43018574-0.43028161) × cos(-0.50124977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876982705031963 × 6371000     		do = 535.650310735029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43018574-0.43028161) × cos(-0.50133384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876942304453339 × 6371000     		du = 535.625634555704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50124977)-sin(-0.50133384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876982705031963-0.876942304453339)×R²
    abs(0.43028161-0.43018574)×4.04005786242001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04005786242001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04005786242001e-05×40589641000000     		ar = 286893.038628471m²