Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37255 / 26744
↖ ↑ ↗
← N 31.391157°
E 24.647827°		 ← 521.39 m → N 31.391157°
E 24.653320°		 →
↑
521.40 m
↓
↑
521.40 m
↓
N 31.386468°
E 24.647827°		 ← 521.41 m →
271 860 m²		 N 31.386468°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568473815917969 y=0.408088684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568473815917969 × 216)
    floor (0.568473815917969 × 65536)
    floor (37255.5)     		tx = 37255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408088684082031 × 216)
    floor (0.408088684082031 × 65536)
    floor (26744.5)     		ty = 26744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37255 / 26744 ti = "16/37255/26744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37255/26744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37255 ÷ 216
    37255 ÷ 65536     		x = 0.568466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26744 ÷ 216
    26744 ÷ 65536     		y = 0.4080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568466186523438 × 2 - 1) × π
    0.136932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43018574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4080810546875 × 2 - 1) × π
    0.183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.577543766622437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43018574} λ = 0.43018574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577543766622437))-π/2
    2×atan(1.78165688679296)-π/2
    2×1.05933769078314-π/2
    2.11867538156628-1.57079632675     		φ = 0.54787905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43018574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54787905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.391157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37255 KachelY 26744 0.43018574 0.54787905 24.647827 31.391157
    Oben rechts KachelX + 1 37256 KachelY 26744 0.43028161 0.54787905 24.653320 31.391157
    Unten links KachelX 37255 KachelY + 1 26745 0.43018574 0.54779721 24.647827 31.386468
    Unten rechts KachelX + 1 37256 KachelY + 1 26745 0.43028161 0.54779721 24.653320 31.386468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54787905-0.54779721) × R
    8.18399999999997e-05 × 6371000     		dl = 521.402639999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54787905-0.54779721) × R
    8.18399999999997e-05 × 6371000     		dr = 521.402639999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43018574-0.43028161) × cos(0.54787905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853631197196795 × 6371000     		do = 521.387495338249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43018574-0.43028161) × cos(0.54779721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853673822984772 × 6371000     		du = 521.413530648232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54787905)-sin(0.54779721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853631197196795-0.853673822984772)×R²
    abs(0.43028161-0.43018574)×4.26257879769798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26257879769798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26257879769798e-05×40589641000000     		ar = 271859.604123773m²