Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37254 / 39304
↖ ↑ ↗
← S 33.760882°
E 24.642334°		 ← 507.84 m → S 33.760882°
E 24.647827°		 →
↑
507.77 m
↓
↑
507.77 m
↓
S 33.765449°
E 24.642334°		 ← 507.81 m →
257 858 m²		 S 33.765449°
E 24.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568458557128906 y=0.599739074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568458557128906 × 216)
    floor (0.568458557128906 × 65536)
    floor (37254.5)     		tx = 37254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599739074707031 × 216)
    floor (0.599739074707031 × 65536)
    floor (39304.5)     		ty = 39304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37254 / 39304 ti = "16/37254/39304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37254/39304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37254 ÷ 216
    37254 ÷ 65536     		x = 0.568450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39304 ÷ 216
    39304 ÷ 65536     		y = 0.5997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568450927734375 × 2 - 1) × π
    0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.626631151833374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43008986} λ = 0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626631151833374))-π/2
    2×atan(0.534389047544865)-π/2
    2×0.490778888758664-π/2
    0.981557777517328-1.57079632675     		φ = -0.58923855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58923855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.760882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37254 KachelY 39304 0.43008986 -0.58923855 24.642334 -33.760882
    Oben rechts KachelX + 1 37255 KachelY 39304 0.43018574 -0.58923855 24.647827 -33.760882
    Unten links KachelX 37254 KachelY + 1 39305 0.43008986 -0.58931825 24.642334 -33.765449
    Unten rechts KachelX + 1 37255 KachelY + 1 39305 0.43018574 -0.58931825 24.647827 -33.765449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58923855--0.58931825) × R
    7.97000000000159e-05 × 6371000     		dl = 507.768700000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58923855--0.58931825) × R
    7.97000000000159e-05 × 6371000     		dr = 507.768700000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43008986-0.43018574) × cos(-0.58923855) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.831364079267895 × 6371000     		do = 507.839978239592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43008986-0.43018574) × cos(-0.58931825) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.831319785094583 × 6371000     		du = 507.812921078269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58923855)-sin(-0.58931825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831364079267895-0.831319785094583)×R²
    abs(0.43018574-0.43008986)×4.42941733125313e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42941733125313e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42941733125313e-05×40589641000000     		ar = 257858.376305624m²