Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37254 / 26746
↖ ↑ ↗
← N 31.381779°
E 24.642334°		 ← 521.49 m → N 31.381779°
E 24.647827°		 →
↑
521.47 m
↓
↑
521.47 m
↓
N 31.377089°
E 24.642334°		 ← 521.52 m →
271 948 m²		 N 31.377089°
E 24.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568458557128906 y=0.408119201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568458557128906 × 216)
    floor (0.568458557128906 × 65536)
    floor (37254.5)     		tx = 37254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408119201660156 × 216)
    floor (0.408119201660156 × 65536)
    floor (26746.5)     		ty = 26746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37254 / 26746 ti = "16/37254/26746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37254/26746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37254 ÷ 216
    37254 ÷ 65536     		x = 0.568450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26746 ÷ 216
    26746 ÷ 65536     		y = 0.408111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568450927734375 × 2 - 1) × π
    0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408111572265625 × 2 - 1) × π
    0.18377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.577352019023956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43008986} λ = 0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577352019023956))-π/2
    2×atan(1.78131529111473)-π/2
    2×1.05925584583057-π/2
    2.11851169166114-1.57079632675     		φ = 0.54771536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54771536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.381779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37254 KachelY 26746 0.43008986 0.54771536 24.642334 31.381779
    Oben rechts KachelX + 1 37255 KachelY 26746 0.43018574 0.54771536 24.647827 31.381779
    Unten links KachelX 37254 KachelY + 1 26747 0.43008986 0.54763351 24.642334 31.377089
    Unten rechts KachelX + 1 37255 KachelY + 1 26747 0.43018574 0.54763351 24.647827 31.377089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54771536-0.54763351) × R
    8.18499999999389e-05 × 6371000     		dl = 521.466349999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54771536-0.54763351) × R
    8.18499999999389e-05 × 6371000     		dr = 521.466349999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43008986-0.43018574) × cos(0.54771536) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853716448262407 × 6371000     		do = 521.493955921395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43008986-0.43018574) × cos(0.54763351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853759067820634 × 6371000     		du = 521.519990141615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54771536)-sin(0.54763351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853716448262407-0.853759067820634)×R²
    abs(0.43018574-0.43008986)×4.26195582271527e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26195582271527e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26195582271527e-05×40589641000000     		ar = 271948.337877805m²