Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37253 / 39305
↖ ↑ ↗
← S 33.765449°
E 24.636841°		 ← 507.76 m → S 33.765449°
E 24.642334°		 →
↑
507.77 m
↓
↑
507.77 m
↓
S 33.770015°
E 24.636841°		 ← 507.73 m →
257 818 m²		 S 33.770015°
E 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568443298339844 y=0.599754333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568443298339844 × 216)
    floor (0.568443298339844 × 65536)
    floor (37253.5)     		tx = 37253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599754333496094 × 216)
    floor (0.599754333496094 × 65536)
    floor (39305.5)     		ty = 39305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37253 / 39305 ti = "16/37253/39305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37253/39305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37253 ÷ 216
    37253 ÷ 65536     		x = 0.568435668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39305 ÷ 216
    39305 ÷ 65536     		y = 0.599746704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568435668945312 × 2 - 1) × π
    0.136871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42999399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.199493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.626727025632614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42999399} λ = 0.42999399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626727025632614))-π/2
    2×atan(0.534337816092521)-π/2
    2×0.490739036803932-π/2
    0.981478073607865-1.57079632675     		φ = -0.58931825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42999399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.636841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58931825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.765449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37253 KachelY 39305 0.42999399 -0.58931825 24.636841 -33.765449
    Oben rechts KachelX + 1 37254 KachelY 39305 0.43008986 -0.58931825 24.642334 -33.765449
    Unten links KachelX 37253 KachelY + 1 39306 0.42999399 -0.58939795 24.636841 -33.770015
    Unten rechts KachelX + 1 37254 KachelY + 1 39306 0.43008986 -0.58939795 24.642334 -33.770015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58931825--0.58939795) × R
    7.96999999999048e-05 × 6371000     		dl = 507.768699999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58931825--0.58939795) × R
    7.96999999999048e-05 × 6371000     		dr = 507.768699999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42999399-0.43008986) × cos(-0.58931825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.831319785094583 × 6371000     		do = 507.759957694788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42999399-0.43008986) × cos(-0.58939795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.831275485640652 × 6371000     		du = 507.73290013011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58931825)-sin(-0.58939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831319785094583-0.831275485640652)×R²
    abs(0.43008986-0.42999399)×4.42994539304742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42994539304742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42994539304742e-05×40589641000000     		ar = 257817.744274791m²