Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37251 / 38242
↖ ↑ ↗
← S 28.777289°
E 24.625854°		 ← 535.41 m → S 28.777289°
E 24.631348°		 →
↑
535.36 m
↓
↑
535.36 m
↓
S 28.782103°
E 24.625854°		 ← 535.39 m →
286 628 m²		 S 28.782103°
E 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568412780761719 y=0.583534240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568412780761719 × 216)
    floor (0.568412780761719 × 65536)
    floor (37251.5)     		tx = 37251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583534240722656 × 216)
    floor (0.583534240722656 × 65536)
    floor (38242.5)     		ty = 38242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37251 / 38242 ti = "16/37251/38242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37251/38242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37251 ÷ 216
    37251 ÷ 65536     		x = 0.568405151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38242 ÷ 216
    38242 ÷ 65536     		y = 0.583526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568405151367188 × 2 - 1) × π
    0.136810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42980224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.16705322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.524813177040375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42980224} λ = 0.42980224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524813177040375))-π/2
    2×atan(0.591665890814886)-π/2
    2×0.534268941631004-π/2
    1.06853788326201-1.57079632675     		φ = -0.50225844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42980224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.625854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50225844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.777289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37251 KachelY 38242 0.42980224 -0.50225844 24.625854 -28.777289
    Oben rechts KachelX + 1 37252 KachelY 38242 0.42989812 -0.50225844 24.631348 -28.777289
    Unten links KachelX 37251 KachelY + 1 38243 0.42980224 -0.50234247 24.625854 -28.782103
    Unten rechts KachelX + 1 37252 KachelY + 1 38243 0.42989812 -0.50234247 24.631348 -28.782103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50225844--0.50234247) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dl = 535.355130000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50225844--0.50234247) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dr = 535.355130000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42980224-0.42989812) × cos(-0.50225844) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876497570920949 × 6371000     		do = 535.409838413426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42980224-0.42989812) × cos(-0.50234247) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876457115256644 × 6371000     		du = 535.38512601101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50225844)-sin(-0.50234247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876497570920949-0.876457115256644)×R²
    abs(0.42989812-0.42980224)×4.04556643057719e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04556643057719e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04556643057719e-05×40589641000000     		ar = 286627.788859965m²