Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37251 / 27510
↖ ↑ ↗
← N 27.732161°
E 24.625854°		 ← 540.68 m → N 27.732161°
E 24.631348°		 →
↑
540.64 m
↓
↑
540.64 m
↓
N 27.727298°
E 24.625854°		 ← 540.71 m →
292 324 m²		 N 27.727298°
E 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568412780761719 y=0.419776916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568412780761719 × 216)
    floor (0.568412780761719 × 65536)
    floor (37251.5)     		tx = 37251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419776916503906 × 216)
    floor (0.419776916503906 × 65536)
    floor (27510.5)     		ty = 27510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37251 / 27510 ti = "16/37251/27510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37251/27510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37251 ÷ 216
    37251 ÷ 65536     		x = 0.568405151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27510 ÷ 216
    27510 ÷ 65536     		y = 0.419769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568405151367188 × 2 - 1) × π
    0.136810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42980224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    0.16046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504104436404511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42980224} λ = 0.42980224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504104436404511))-π/2
    2×atan(1.65550224883165)-π/2
    2×1.02740691992827-π/2
    2.05481383985654-1.57079632675     		φ = 0.48401751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42980224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.625854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48401751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.732161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37251 KachelY 27510 0.42980224 0.48401751 24.625854 27.732161
    Oben rechts KachelX + 1 37252 KachelY 27510 0.42989812 0.48401751 24.631348 27.732161
    Unten links KachelX 37251 KachelY + 1 27511 0.42980224 0.48393265 24.625854 27.727298
    Unten rechts KachelX + 1 37252 KachelY + 1 27511 0.42989812 0.48393265 24.631348 27.727298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48401751-0.48393265) × R
    8.48599999999644e-05 × 6371000     		dl = 540.643059999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48401751-0.48393265) × R
    8.48599999999644e-05 × 6371000     		dr = 540.643059999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42980224-0.42989812) × cos(0.48401751) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88513256710351 × 6371000     		do = 540.684538611337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42980224-0.42989812) × cos(0.48393265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		du = 540.708658372947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48401751)-sin(0.48393265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88513256710351-0.885172052579766)×R²
    abs(0.42989812-0.42980224)×3.9485476256762e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.9485476256762e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.9485476256762e-05×40589641000000     		ar = 292323.863715525m²