Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37251 / 27271
↖ ↑ ↗
← N 28.887969°
E 24.625854°		 ← 534.84 m → N 28.887969°
E 24.631348°		 →
↑
534.85 m
↓
↑
534.85 m
↓
N 28.883159°
E 24.625854°		 ← 534.87 m →
286 064 m²		 N 28.883159°
E 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568412780761719 y=0.416130065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568412780761719 × 216)
    floor (0.568412780761719 × 65536)
    floor (37251.5)     		tx = 37251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416130065917969 × 216)
    floor (0.416130065917969 × 65536)
    floor (27271.5)     		ty = 27271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37251 / 27271 ti = "16/37251/27271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37251/27271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37251 ÷ 216
    37251 ÷ 65536     		x = 0.568405151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27271 ÷ 216
    27271 ÷ 65536     		y = 0.416122436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568405151367188 × 2 - 1) × π
    0.136810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42980224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416122436523438 × 2 - 1) × π
    0.167755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.527018274422897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42980224} λ = 0.42980224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527018274422897))-π/2
    2×atan(1.69387410353749)-π/2
    2×1.0374932530624-π/2
    2.0749865061248-1.57079632675     		φ = 0.50419018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42980224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.625854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50419018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.887969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37251 KachelY 27271 0.42980224 0.50419018 24.625854 28.887969
    Oben rechts KachelX + 1 37252 KachelY 27271 0.42989812 0.50419018 24.631348 28.887969
    Unten links KachelX 37251 KachelY + 1 27272 0.42980224 0.50410623 24.625854 28.883159
    Unten rechts KachelX + 1 37252 KachelY + 1 27272 0.42989812 0.50410623 24.631348 28.883159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50419018-0.50410623) × R
    8.39500000000548e-05 × 6371000     		dl = 534.845450000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50419018-0.50410623) × R
    8.39500000000548e-05 × 6371000     		dr = 534.845450000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42980224-0.42989812) × cos(0.50419018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875565984351316 × 6371000     		do = 534.840777378617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42980224-0.42989812) × cos(0.50410623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87560653738905 × 6371000     		du = 534.865549261735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50419018)-sin(0.50410623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875565984351316-0.87560653738905)×R²
    abs(0.42989812-0.42980224)×4.05530377335372e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.05530377335372e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.05530377335372e-05×40589641000000     		ar = 286063.780988032m²