Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37250 / 27526
↖ ↑ ↗
← N 27.654338°
E 24.620361°		 ← 541.01 m → N 27.654338°
E 24.625854°		 →
↑
541.03 m
↓
↑
541.03 m
↓
N 27.649472°
E 24.620361°		 ← 541.04 m →
292 709 m²		 N 27.649472°
E 24.625854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568397521972656 y=0.420021057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568397521972656 × 216)
    floor (0.568397521972656 × 65536)
    floor (37250.5)     		tx = 37250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420021057128906 × 216)
    floor (0.420021057128906 × 65536)
    floor (27526.5)     		ty = 27526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37250 / 27526 ti = "16/37250/27526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37250/27526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37250 ÷ 216
    37250 ÷ 65536     		x = 0.568389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27526 ÷ 216
    27526 ÷ 65536     		y = 0.420013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568389892578125 × 2 - 1) × π
    0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420013427734375 × 2 - 1) × π
    0.15997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.502570455616669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42970637} λ = 0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502570455616669))-π/2
    2×atan(1.65296468697087)-π/2
    2×1.02672778960184-π/2
    2.05345557920368-1.57079632675     		φ = 0.48265925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48265925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.654338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37250 KachelY 27526 0.42970637 0.48265925 24.620361 27.654338
    Oben rechts KachelX + 1 37251 KachelY 27526 0.42980224 0.48265925 24.625854 27.654338
    Unten links KachelX 37250 KachelY + 1 27527 0.42970637 0.48257433 24.620361 27.649472
    Unten rechts KachelX + 1 37251 KachelY + 1 27527 0.42980224 0.48257433 24.625854 27.649472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48265925-0.48257433) × R
    8.49199999999883e-05 × 6371000     		dl = 541.025319999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48265925-0.48257433) × R
    8.49199999999883e-05 × 6371000     		dr = 541.025319999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42970637-0.42980224) × cos(0.48265925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885763801714548 × 6371000     		do = 541.013697195939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42970637-0.42980224) × cos(0.48257433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885803212973703 × 6371000     		du = 541.037769111031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48265925)-sin(0.48257433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885763801714548-0.885803212973703)×R²
    abs(0.42980224-0.42970637)×3.94112591549645e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94112591549645e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94112591549645e-05×40589641000000     		ar = 292708.620583549m²