Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37250 / 27270
↖ ↑ ↗
← N 28.892779°
E 24.620361°		 ← 534.76 m → N 28.892779°
E 24.625854°		 →
↑
534.78 m
↓
↑
534.78 m
↓
N 28.887969°
E 24.620361°		 ← 534.78 m →
285 987 m²		 N 28.887969°
E 24.625854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568397521972656 y=0.416114807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568397521972656 × 216)
    floor (0.568397521972656 × 65536)
    floor (37250.5)     		tx = 37250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416114807128906 × 216)
    floor (0.416114807128906 × 65536)
    floor (27270.5)     		ty = 27270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37250 / 27270 ti = "16/37250/27270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37250/27270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37250 ÷ 216
    37250 ÷ 65536     		x = 0.568389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27270 ÷ 216
    27270 ÷ 65536     		y = 0.416107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568389892578125 × 2 - 1) × π
    0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416107177734375 × 2 - 1) × π
    0.16778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.527114148222137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42970637} λ = 0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527114148222137))-π/2
    2×atan(1.69403650946834)-π/2
    2×1.03753522400909-π/2
    2.07507044801818-1.57079632675     		φ = 0.50427412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50427412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.892779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37250 KachelY 27270 0.42970637 0.50427412 24.620361 28.892779
    Oben rechts KachelX + 1 37251 KachelY 27270 0.42980224 0.50427412 24.625854 28.892779
    Unten links KachelX 37250 KachelY + 1 27271 0.42970637 0.50419018 24.620361 28.887969
    Unten rechts KachelX + 1 37251 KachelY + 1 27271 0.42980224 0.50419018 24.625854 28.887969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50427412-0.50419018) × R
    8.39400000000046e-05 × 6371000     		dl = 534.781740000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50427412-0.50419018) × R
    8.39400000000046e-05 × 6371000     		dr = 534.781740000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42970637-0.42980224) × cos(0.50427412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875525429974662 × 6371000     		do = 534.760224952503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42970637-0.42980224) × cos(0.50419018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875565984351316 × 6371000     		du = 534.784995069784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50427412)-sin(0.50419018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875525429974662-0.875565984351316)×R²
    abs(0.42980224-0.42970637)×4.05543766541783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05543766541783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05543766541783e-05×40589641000000     		ar = 285986.62705405m²