Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3725 / 1423
↖ ↑ ↗
← N 81.469521°
W 98.151855°		 ← 362.42 m → N 81.469521°
W 98.129883°		 →
↑
362.51 m
↓
↑
362.51 m
↓
N 81.466261°
W 98.151855°		 ← 362.55 m →
131 404 m²		 N 81.466261°
W 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227386474609375 y=0.086883544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227386474609375 × 214)
    floor (0.227386474609375 × 16384)
    floor (3725.5)     		tx = 3725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.086883544921875 × 214)
    floor (0.086883544921875 × 16384)
    floor (1423.5)     		ty = 1423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3725 / 1423 ti = "14/3725/1423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3725/1423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3725 ÷ 214
    3725 ÷ 16384     		x = 0.22735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1423 ÷ 214
    1423 ÷ 16384     		y = 0.08685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.5452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71307304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08685302734375 × 2 - 1) × π
    0.8262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59587898822528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71307304} λ = -1.71307304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59587898822528))-π/2
    2×atan(13.4083679807118)-π/2
    2×1.49635385241657-π/2
    2.99270770483314-1.57079632675     		φ = 1.42191138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71307304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.151855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42191138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.469521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3725 KachelY 1423 -1.71307304 1.42191138 -98.151855 81.469521
    Oben rechts KachelX + 1 3726 KachelY 1423 -1.71268955 1.42191138 -98.129883 81.469521
    Unten links KachelX 3725 KachelY + 1 1424 -1.71307304 1.42185448 -98.151855 81.466261
    Unten rechts KachelX + 1 3726 KachelY + 1 1424 -1.71268955 1.42185448 -98.129883 81.466261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42191138-1.42185448) × R
    5.69000000001374e-05 × 6371000     		dl = 362.509900000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42191138-1.42185448) × R
    5.69000000001374e-05 × 6371000     		dr = 362.509900000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71307304--1.71268955) × cos(1.42191138) × R
    0.000383490000000153 × 0.148335507441037 × 6371000     		do = 362.415505662242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71307304--1.71268955) × cos(1.42185448) × R
    0.000383490000000153 × 0.148391777721568 × 6371000     		du = 362.552986043872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42191138)-sin(1.42185448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148335507441037-0.148391777721568)×R²
    abs(-1.71268955--1.71307304)×5.62702805307624e-05×R²
    0.000383490000000153×5.62702805307624e-05×6371000²
    0.000383490000000153×5.62702805307624e-05×40589641000000     		ar = 131404.127751052m²