Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3725 / 1420
↖ ↑ ↗
← N 81.479293°
W 98.151855°		 ← 362 m → N 81.479293°
W 98.129883°		 →
↑
362.06 m
↓
↑
362.06 m
↓
N 81.476037°
W 98.151855°		 ← 362.14 m →
131 093 m²		 N 81.476037°
W 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227386474609375 y=0.086700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227386474609375 × 214)
    floor (0.227386474609375 × 16384)
    floor (3725.5)     		tx = 3725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.086700439453125 × 214)
    floor (0.086700439453125 × 16384)
    floor (1420.5)     		ty = 1420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3725 / 1420 ti = "14/3725/1420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3725/1420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3725 ÷ 214
    3725 ÷ 16384     		x = 0.22735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1420 ÷ 214
    1420 ÷ 16384     		y = 0.086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.5452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71307304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086669921875 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71307304} λ = -1.71307304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59702947381616))-π/2
    2×atan(13.4238029920474)-π/2
    2×1.49643913282581-π/2
    2.99287826565161-1.57079632675     		φ = 1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71307304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.151855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3725 KachelY 1420 -1.71307304 1.42208194 -98.151855 81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 3726 KachelY 1420 -1.71268955 1.42208194 -98.129883 81.479293
    Unten links KachelX 3725 KachelY + 1 1421 -1.71307304 1.42202511 -98.151855 81.476037
    Unten rechts KachelX + 1 3726 KachelY + 1 1421 -1.71268955 1.42202511 -98.129883 81.476037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42208194-1.42202511) × R
    5.68299999998967e-05 × 6371000     		dl = 362.063929999342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42208194-1.42202511) × R
    5.68299999998967e-05 × 6371000     		dr = 362.063929999342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71307304--1.71268955) × cos(1.42208194) × R
    0.000383490000000153 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 362.003395753628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71307304--1.71268955) × cos(1.42202511) × R
    0.000383490000000153 × 0.148223034666178 × 6371000     		du = 362.140710515233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42208194)-sin(1.42202511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.148223034666178)×R²
    abs(-1.71268955--1.71307304)×5.62024927842908e-05×R²
    0.000383490000000153×5.62024927842908e-05×6371000²
    0.000383490000000153×5.62024927842908e-05×40589641000000     		ar = 131093.230535956m²