Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37247 / 38785
↖ ↑ ↗
← S 31.358328°
E 24.603882°		 ← 521.57 m → S 31.358328°
E 24.609375°		 →
↑
521.59 m
↓
↑
521.59 m
↓
S 31.363019°
E 24.603882°		 ← 521.54 m →
272 041 m²		 S 31.363019°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568351745605469 y=0.591819763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568351745605469 × 216)
    floor (0.568351745605469 × 65536)
    floor (37247.5)     		tx = 37247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591819763183594 × 216)
    floor (0.591819763183594 × 65536)
    floor (38785.5)     		ty = 38785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37247 / 38785 ti = "16/37247/38785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37247/38785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37247 ÷ 216
    37247 ÷ 65536     		x = 0.568344116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38785 ÷ 216
    38785 ÷ 65536     		y = 0.591812133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568344116210938 × 2 - 1) × π
    0.136688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42941875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591812133789062 × 2 - 1) × π
    -0.183624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.576872650027756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42941875} λ = 0.42941875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576872650027756))-π/2
    2×atan(0.561652105554987)-π/2
    2×0.511745129098085-π/2
    1.02349025819617-1.57079632675     		φ = -0.54730607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42941875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54730607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.358328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37247 KachelY 38785 0.42941875 -0.54730607 24.603882 -31.358328
    Oben rechts KachelX + 1 37248 KachelY 38785 0.42951462 -0.54730607 24.609375 -31.358328
    Unten links KachelX 37247 KachelY + 1 38786 0.42941875 -0.54738794 24.603882 -31.363019
    Unten rechts KachelX + 1 37248 KachelY + 1 38786 0.42951462 -0.54738794 24.609375 -31.363019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54730607--0.54738794) × R
    8.18700000000394e-05 × 6371000     		dl = 521.593770000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54730607--0.54738794) × R
    8.18700000000394e-05 × 6371000     		dr = 521.593770000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42941875-0.42951462) × cos(-0.54730607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853929509669309 × 6371000     		do = 521.569700948099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42941875-0.42951462) × cos(-0.54738794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85388690258519 × 6371000     		du = 521.543677062204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54730607)-sin(-0.54738794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853929509669309-0.85388690258519)×R²
    abs(0.42951462-0.42941875)×4.2607084119739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2607084119739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2607084119739e-05×40589641000000     		ar = 272040.719839031m²