Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37246 / 28146
↖ ↑ ↗
← N 24.597080°
E 24.598389°		 ← 555.42 m → N 24.597080°
E 24.603882°		 →
↑
555.36 m
↓
↑
555.36 m
↓
N 24.592085°
E 24.598389°		 ← 555.44 m →
308 465 m²		 N 24.592085°
E 24.603882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568336486816406 y=0.429481506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568336486816406 × 216)
    floor (0.568336486816406 × 65536)
    floor (37246.5)     		tx = 37246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429481506347656 × 216)
    floor (0.429481506347656 × 65536)
    floor (28146.5)     		ty = 28146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37246 / 28146 ti = "16/37246/28146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37246/28146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37246 ÷ 216
    37246 ÷ 65536     		x = 0.568328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28146 ÷ 216
    28146 ÷ 65536     		y = 0.429473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568328857421875 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429473876953125 × 2 - 1) × π
    0.14105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.443128700087799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42932287} λ = 0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443128700087799))-π/2
    2×atan(1.55757278119643)-π/2
    2×1.00004818077631-π/2
    2.00009636155261-1.57079632675     		φ = 0.42930003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42930003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.597080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37246 KachelY 28146 0.42932287 0.42930003 24.598389 24.597080
    Oben rechts KachelX + 1 37247 KachelY 28146 0.42941875 0.42930003 24.603882 24.597080
    Unten links KachelX 37246 KachelY + 1 28147 0.42932287 0.42921286 24.598389 24.592085
    Unten rechts KachelX + 1 37247 KachelY + 1 28147 0.42941875 0.42921286 24.603882 24.592085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42930003-0.42921286) × R
    8.71700000000253e-05 × 6371000     		dl = 555.360070000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42930003-0.42921286) × R
    8.71700000000253e-05 × 6371000     		dr = 555.360070000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42932287-0.42941875) × cos(0.42930003) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909257324029122 × 6371000     		do = 555.421182083986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42932287-0.42941875) × cos(0.42921286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909293603731676 × 6371000     		du = 555.443343593985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42930003)-sin(0.42921286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909257324029122-0.909293603731676)×R²
    abs(0.42941875-0.42932287)×3.6279702554709e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6279702554709e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6279702554709e-05×40589641000000     		ar = 308464.900566049m²