Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37245 / 28275
↖ ↑ ↗
← N 23.951116°
E 24.592896°		 ← 558.19 m → N 23.951116°
E 24.598389°		 →
↑
558.23 m
↓
↑
558.23 m
↓
N 23.946096°
E 24.592896°		 ← 558.22 m →
311 605 m²		 N 23.946096°
E 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568321228027344 y=0.431449890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568321228027344 × 216)
    floor (0.568321228027344 × 65536)
    floor (37245.5)     		tx = 37245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431449890136719 × 216)
    floor (0.431449890136719 × 65536)
    floor (28275.5)     		ty = 28275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37245 / 28275 ti = "16/37245/28275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37245/28275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37245 ÷ 216
    37245 ÷ 65536     		x = 0.568313598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28275 ÷ 216
    28275 ÷ 65536     		y = 0.431442260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568313598632812 × 2 - 1) × π
    0.136627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42922700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431442260742188 × 2 - 1) × π
    0.137115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.430760979985825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42922700} λ = 0.42922700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430760979985825))-π/2
    2×atan(1.53842779097533)-π/2
    2×0.994411082630568-π/2
    1.98882216526114-1.57079632675     		φ = 0.41802584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42922700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.592896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41802584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.951116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37245 KachelY 28275 0.42922700 0.41802584 24.592896 23.951116
    Oben rechts KachelX + 1 37246 KachelY 28275 0.42932287 0.41802584 24.598389 23.951116
    Unten links KachelX 37245 KachelY + 1 28276 0.42922700 0.41793822 24.592896 23.946096
    Unten rechts KachelX + 1 37246 KachelY + 1 28276 0.42932287 0.41793822 24.598389 23.946096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41802584-0.41793822) × R
    8.7619999999955e-05 × 6371000     		dl = 558.227019999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41802584-0.41793822) × R
    8.7619999999955e-05 × 6371000     		dr = 558.227019999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42922700-0.42932287) × cos(0.41802584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913892144871738 × 6371000     		do = 558.194145186714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42922700-0.42932287) × cos(0.41793822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913927711322595 × 6371000     		du = 558.215868739919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41802584)-sin(0.41793822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913892144871738-0.913927711322595)×R²
    abs(0.42932287-0.42922700)×3.55664508564502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55664508564502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55664508564502e-05×40589641000000     		ar = 311605.117785463m²