Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37244 / 38623
↖ ↑ ↗
← S 30.595365°
E 24.587403°		 ← 525.76 m → S 30.595365°
E 24.592896°		 →
↑
525.80 m
↓
↑
525.80 m
↓
S 30.600094°
E 24.587403°		 ← 525.73 m →
276 435 m²		 S 30.600094°
E 24.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568305969238281 y=0.589347839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568305969238281 × 216)
    floor (0.568305969238281 × 65536)
    floor (37244.5)     		tx = 37244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589347839355469 × 216)
    floor (0.589347839355469 × 65536)
    floor (38623.5)     		ty = 38623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37244 / 38623 ti = "16/37244/38623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37244/38623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37244 ÷ 216
    37244 ÷ 65536     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38623 ÷ 216
    38623 ÷ 65536     		y = 0.589340209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589340209960938 × 2 - 1) × π
    -0.178680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.561341094550858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561341094550858))-π/2
    2×atan(0.570443531925968)-π/2
    2×0.518403230918949-π/2
    1.0368064618379-1.57079632675     		φ = -0.53398986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53398986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.595365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37244 KachelY 38623 0.42913113 -0.53398986 24.587403 -30.595365
    Oben rechts KachelX + 1 37245 KachelY 38623 0.42922700 -0.53398986 24.592896 -30.595365
    Unten links KachelX 37244 KachelY + 1 38624 0.42913113 -0.53407239 24.587403 -30.600094
    Unten rechts KachelX + 1 37245 KachelY + 1 38624 0.42922700 -0.53407239 24.592896 -30.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53398986--0.53407239) × R
    8.25299999999141e-05 × 6371000     		dl = 525.798629999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53398986--0.53407239) × R
    8.25299999999141e-05 × 6371000     		dr = 525.798629999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42922700) × cos(-0.53398986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860783201113112 × 6371000     		do = 525.755851861328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42922700) × cos(-0.53407239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860741192740037 × 6371000     		du = 525.730193660816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53398986)-sin(-0.53407239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860783201113112-0.860741192740037)×R²
    abs(0.42922700-0.42913113)×4.20083730753307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20083730753307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20083730753307e-05×40589641000000     		ar = 276434.961256428m²