Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37243 / 38604
↖ ↑ ↗
← S 30.505484°
E 24.581909°		 ← 526.30 m → S 30.505484°
E 24.587403°		 →
↑
526.24 m
↓
↑
526.24 m
↓
S 30.510216°
E 24.581909°		 ← 526.27 m →
276 955 m²		 S 30.510216°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568290710449219 y=0.589057922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568290710449219 × 216)
    floor (0.568290710449219 × 65536)
    floor (37243.5)     		tx = 37243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589057922363281 × 216)
    floor (0.589057922363281 × 65536)
    floor (38604.5)     		ty = 38604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37243 / 38604 ti = "16/37243/38604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37243/38604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37243 ÷ 216
    37243 ÷ 65536     		x = 0.568283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38604 ÷ 216
    38604 ÷ 65536     		y = 0.58905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568283081054688 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.559519492365295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42903525} λ = 0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559519492365295))-π/2
    2×atan(0.571483600118111)-π/2
    2×0.519187596429139-π/2
    1.03837519285828-1.57079632675     		φ = -0.53242113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53242113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.505484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37243 KachelY 38604 0.42903525 -0.53242113 24.581909 -30.505484
    Oben rechts KachelX + 1 37244 KachelY 38604 0.42913113 -0.53242113 24.587403 -30.505484
    Unten links KachelX 37243 KachelY + 1 38605 0.42903525 -0.53250373 24.581909 -30.510216
    Unten rechts KachelX + 1 37244 KachelY + 1 38605 0.42913113 -0.53250373 24.587403 -30.510216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53242113--0.53250373) × R
    8.25999999999327e-05 × 6371000     		dl = 526.244599999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53242113--0.53250373) × R
    8.25999999999327e-05 × 6371000     		dr = 526.244599999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42903525-0.42913113) × cos(-0.53242113) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.861580580941742 × 6371000     		do = 526.297773007787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42903525-0.42913113) × cos(-0.53250373) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.86153864852242 × 6371000     		du = 526.272158527384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53242113)-sin(-0.53250373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861580580941742-0.86153864852242)×R²
    abs(0.42913113-0.42903525)×4.19324193223769e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19324193223769e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19324193223769e-05×40589641000000     		ar = 276954.62145379m²