Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37243 / 28289
↖ ↑ ↗
← N 23.880815°
E 24.581909°		 ← 558.56 m → N 23.880815°
E 24.587403°		 →
↑
558.55 m
↓
↑
558.55 m
↓
N 23.875792°
E 24.581909°		 ← 558.58 m →
311 985 m²		 N 23.875792°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568290710449219 y=0.431663513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568290710449219 × 216)
    floor (0.568290710449219 × 65536)
    floor (37243.5)     		tx = 37243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431663513183594 × 216)
    floor (0.431663513183594 × 65536)
    floor (28289.5)     		ty = 28289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37243 / 28289 ti = "16/37243/28289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37243/28289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37243 ÷ 216
    37243 ÷ 65536     		x = 0.568283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28289 ÷ 216
    28289 ÷ 65536     		y = 0.431655883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568283081054688 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431655883789062 × 2 - 1) × π
    0.136688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429418746796463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42903525} λ = 0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429418746796463))-π/2
    2×atan(1.53636424732304)-π/2
    2×0.993797587471632-π/2
    1.98759517494326-1.57079632675     		φ = 0.41679885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41679885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.880815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37243 KachelY 28289 0.42903525 0.41679885 24.581909 23.880815
    Oben rechts KachelX + 1 37244 KachelY 28289 0.42913113 0.41679885 24.587403 23.880815
    Unten links KachelX 37243 KachelY + 1 28290 0.42903525 0.41671118 24.581909 23.875792
    Unten rechts KachelX + 1 37244 KachelY + 1 28290 0.42913113 0.41671118 24.587403 23.875792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41679885-0.41671118) × R
    8.76699999999841e-05 × 6371000     		dl = 558.545569999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41679885-0.41671118) × R
    8.76699999999841e-05 × 6371000     		dr = 558.545569999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42903525-0.42913113) × cos(0.41679885) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.914389562085153 × 6371000     		do = 558.556217296548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42903525-0.42913113) × cos(0.41671118) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.914425050493608 × 6371000     		du = 558.577895443376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41679885)-sin(0.41671118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914389562085153-0.914425050493608)×R²
    abs(0.42913113-0.42903525)×3.5488408454909e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.5488408454909e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.5488408454909e-05×40589641000000     		ar = 311985.155083208m²