Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37243 / 26891
↖ ↑ ↗
← N 30.699335°
E 24.581909°		 ← 525.25 m → N 30.699335°
E 24.587403°		 →
↑
525.23 m
↓
↑
525.23 m
↓
N 30.694611°
E 24.581909°		 ← 525.27 m →
275 879 m²		 N 30.694611°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568290710449219 y=0.410331726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568290710449219 × 216)
    floor (0.568290710449219 × 65536)
    floor (37243.5)     		tx = 37243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410331726074219 × 216)
    floor (0.410331726074219 × 65536)
    floor (26891.5)     		ty = 26891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37243 / 26891 ti = "16/37243/26891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37243/26891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37243 ÷ 216
    37243 ÷ 65536     		x = 0.568283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26891 ÷ 216
    26891 ÷ 65536     		y = 0.410324096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568283081054688 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410324096679688 × 2 - 1) × π
    0.179351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.56345031813414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42903525} λ = 0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.56345031813414))-π/2
    2×atan(1.75672330997725)-π/2
    2×1.05330040039004-π/2
    2.10660080078009-1.57079632675     		φ = 0.53580447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53580447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.699335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37243 KachelY 26891 0.42903525 0.53580447 24.581909 30.699335
    Oben rechts KachelX + 1 37244 KachelY 26891 0.42913113 0.53580447 24.587403 30.699335
    Unten links KachelX 37243 KachelY + 1 26892 0.42903525 0.53572203 24.581909 30.694611
    Unten rechts KachelX + 1 37244 KachelY + 1 26892 0.42913113 0.53572203 24.587403 30.694611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53580447-0.53572203) × R
    8.24400000000169e-05 × 6371000     		dl = 525.225240000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53580447-0.53572203) × R
    8.24400000000169e-05 × 6371000     		dr = 525.225240000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42903525-0.42913113) × cos(0.53580447) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.859858199127145 × 6371000     		do = 525.245653527215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42903525-0.42913113) × cos(0.53572203) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.859900284540282 × 6371000     		du = 525.271361464116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53580447)-sin(0.53572203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859858199127145-0.859900284540282)×R²
    abs(0.42913113-0.42903525)×4.20854131372161e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.20854131372161e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.20854131372161e-05×40589641000000     		ar = 275879.025817643m²