Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37242 / 26892
↖ ↑ ↗
← N 30.694611°
E 24.576416°		 ← 525.22 m → N 30.694611°
E 24.581909°		 →
↑
525.23 m
↓
↑
525.23 m
↓
N 30.689888°
E 24.576416°		 ← 525.24 m →
275 864 m²		 N 30.689888°
E 24.581909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568275451660156 y=0.410346984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568275451660156 × 216)
    floor (0.568275451660156 × 65536)
    floor (37242.5)     		tx = 37242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410346984863281 × 216)
    floor (0.410346984863281 × 65536)
    floor (26892.5)     		ty = 26892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37242 / 26892 ti = "16/37242/26892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37242/26892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37242 ÷ 216
    37242 ÷ 65536     		x = 0.568267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26892 ÷ 216
    26892 ÷ 65536     		y = 0.41033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568267822265625 × 2 - 1) × π
    0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41033935546875 × 2 - 1) × π
    0.1793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.5633544443349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42893938} λ = 0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5633544443349))-π/2
    2×atan(1.75655489431276)-π/2
    2×1.05325918044523-π/2
    2.10651836089045-1.57079632675     		φ = 0.53572203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53572203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.694611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37242 KachelY 26892 0.42893938 0.53572203 24.576416 30.694611
    Oben rechts KachelX + 1 37243 KachelY 26892 0.42903525 0.53572203 24.581909 30.694611
    Unten links KachelX 37242 KachelY + 1 26893 0.42893938 0.53563959 24.576416 30.689888
    Unten rechts KachelX + 1 37243 KachelY + 1 26893 0.42903525 0.53563959 24.581909 30.689888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53572203-0.53563959) × R
    8.24399999999059e-05 × 6371000     		dl = 525.225239999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53572203-0.53563959) × R
    8.24399999999059e-05 × 6371000     		dr = 525.225239999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42893938-0.42903525) × cos(0.53572203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859900284540282 × 6371000     		do = 525.216577216713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42893938-0.42903525) × cos(0.53563959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859942364109233 × 6371000     		du = 525.242278902795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53572203)-sin(0.53563959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859900284540282-0.859942364109233)×R²
    abs(0.42903525-0.42893938)×4.2079568950748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2079568950748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2079568950748e-05×40589641000000     		ar = 275863.752563796m²