Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37242 / 26742
↖ ↑ ↗
← N 31.400535°
E 24.576416°		 ← 521.34 m → N 31.400535°
E 24.581909°		 →
↑
521.40 m
↓
↑
521.40 m
↓
N 31.395846°
E 24.576416°		 ← 521.36 m →
271 832 m²		 N 31.395846°
E 24.581909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568275451660156 y=0.408058166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568275451660156 × 216)
    floor (0.568275451660156 × 65536)
    floor (37242.5)     		tx = 37242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408058166503906 × 216)
    floor (0.408058166503906 × 65536)
    floor (26742.5)     		ty = 26742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37242 / 26742 ti = "16/37242/26742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37242/26742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37242 ÷ 216
    37242 ÷ 65536     		x = 0.568267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26742 ÷ 216
    26742 ÷ 65536     		y = 0.408050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568267822265625 × 2 - 1) × π
    0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408050537109375 × 2 - 1) × π
    0.18389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.577735514220917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42893938} λ = 0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577735514220917))-π/2
    2×atan(1.78199854797763)-π/2
    2×1.05941952756169-π/2
    2.11883905512337-1.57079632675     		φ = 0.54804273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54804273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.400535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37242 KachelY 26742 0.42893938 0.54804273 24.576416 31.400535
    Oben rechts KachelX + 1 37243 KachelY 26742 0.42903525 0.54804273 24.581909 31.400535
    Unten links KachelX 37242 KachelY + 1 26743 0.42893938 0.54796089 24.576416 31.395846
    Unten rechts KachelX + 1 37243 KachelY + 1 26743 0.42903525 0.54796089 24.581909 31.395846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54804273-0.54796089) × R
    8.18399999999997e-05 × 6371000     		dl = 521.402639999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54804273-0.54796089) × R
    8.18399999999997e-05 × 6371000     		dr = 521.402639999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42893938-0.42903525) × cos(0.54804273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853545928468811 × 6371000     		do = 521.335414242033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42893938-0.42903525) × cos(0.54796089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85358856569138 × 6371000     		du = 521.361456536125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54804273)-sin(0.54796089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853545928468811-0.85358856569138)×R²
    abs(0.42903525-0.42893938)×4.26372225689198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26372225689198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26372225689198e-05×40589641000000     		ar = 271832.450723483m²