Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37241 / 38751
↖ ↑ ↗
← S 31.198706°
E 24.570923°		 ← 522.51 m → S 31.198706°
E 24.576416°		 →
↑
522.42 m
↓
↑
522.42 m
↓
S 31.203405°
E 24.570923°		 ← 522.48 m →
272 963 m²		 S 31.203405°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568260192871094 y=0.591300964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568260192871094 × 216)
    floor (0.568260192871094 × 65536)
    floor (37241.5)     		tx = 37241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591300964355469 × 216)
    floor (0.591300964355469 × 65536)
    floor (38751.5)     		ty = 38751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37241 / 38751 ti = "16/37241/38751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37241/38751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37241 ÷ 216
    37241 ÷ 65536     		x = 0.568252563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38751 ÷ 216
    38751 ÷ 65536     		y = 0.591293334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568252563476562 × 2 - 1) × π
    0.136505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42884350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591293334960938 × 2 - 1) × π
    -0.182586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.573612940853592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42884350} λ = 0.42884350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573612940853592))-π/2
    2×atan(0.563485915295577)-π/2
    2×0.513138089344279-π/2
    1.02627617868856-1.57079632675     		φ = -0.54452015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42884350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.570923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54452015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.198706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37241 KachelY 38751 0.42884350 -0.54452015 24.570923 -31.198706
    Oben rechts KachelX + 1 37242 KachelY 38751 0.42893938 -0.54452015 24.576416 -31.198706
    Unten links KachelX 37241 KachelY + 1 38752 0.42884350 -0.54460215 24.570923 -31.203405
    Unten rechts KachelX + 1 37242 KachelY + 1 38752 0.42893938 -0.54460215 24.576416 -31.203405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54452015--0.54460215) × R
    8.20000000000265e-05 × 6371000     		dl = 522.422000000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54452015--0.54460215) × R
    8.20000000000265e-05 × 6371000     		dr = 522.422000000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42884350-0.42893938) × cos(-0.54452015) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85537595524261 × 6371000     		do = 522.507668216322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42884350-0.42893938) × cos(-0.54460215) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855333475735648 × 6371000     		du = 522.481719546624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54452015)-sin(-0.54460215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85537595524261-0.855333475735648)×R²
    abs(0.42893938-0.42884350)×4.24795069627892e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24795069627892e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24795069627892e-05×40589641000000     		ar = 272962.723119806m²