Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37241 / 27799
↖ ↑ ↗
← N 26.318037°
E 24.570923°		 ← 547.53 m → N 26.318037°
E 24.576416°		 →
↑
547.52 m
↓
↑
547.52 m
↓
N 26.313113°
E 24.570923°		 ← 547.56 m →
299 795 m²		 N 26.313113°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568260192871094 y=0.424186706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568260192871094 × 216)
    floor (0.568260192871094 × 65536)
    floor (37241.5)     		tx = 37241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424186706542969 × 216)
    floor (0.424186706542969 × 65536)
    floor (27799.5)     		ty = 27799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37241 / 27799 ti = "16/37241/27799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37241/27799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37241 ÷ 216
    37241 ÷ 65536     		x = 0.568252563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27799 ÷ 216
    27799 ÷ 65536     		y = 0.424179077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568252563476562 × 2 - 1) × π
    0.136505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42884350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424179077148438 × 2 - 1) × π
    0.151641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476396908424118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42884350} λ = 0.42884350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476396908424118))-π/2
    2×atan(1.61026201569693)-π/2
    2×1.01506635838414-π/2
    2.03013271676827-1.57079632675     		φ = 0.45933639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42884350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.570923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45933639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.318037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37241 KachelY 27799 0.42884350 0.45933639 24.570923 26.318037
    Oben rechts KachelX + 1 37242 KachelY 27799 0.42893938 0.45933639 24.576416 26.318037
    Unten links KachelX 37241 KachelY + 1 27800 0.42884350 0.45925045 24.570923 26.313113
    Unten rechts KachelX + 1 37242 KachelY + 1 27800 0.42893938 0.45925045 24.576416 26.313113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45933639-0.45925045) × R
    8.59400000000066e-05 × 6371000     		dl = 547.523740000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45933639-0.45925045) × R
    8.59400000000066e-05 × 6371000     		dr = 547.523740000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42884350-0.42893938) × cos(0.45933639) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896346908606165 × 6371000     		do = 547.534835715459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42884350-0.42893938) × cos(0.45925045) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896385007085516 × 6371000     		du = 547.558108227956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45933639)-sin(0.45925045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896346908606165-0.896385007085516)×R²
    abs(0.42893938-0.42884350)×3.80984793508787e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80984793508787e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80984793508787e-05×40589641000000     		ar = 299794.692342293m²