Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37241 / 26902
↖ ↑ ↗
← N 30.647364°
E 24.570923°		 ← 525.53 m → N 30.647364°
E 24.576416°		 →
↑
525.48 m
↓
↑
525.48 m
↓
N 30.642638°
E 24.570923°		 ← 525.55 m →
276 161 m²		 N 30.642638°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568260192871094 y=0.410499572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568260192871094 × 216)
    floor (0.568260192871094 × 65536)
    floor (37241.5)     		tx = 37241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410499572753906 × 216)
    floor (0.410499572753906 × 65536)
    floor (26902.5)     		ty = 26902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37241 / 26902 ti = "16/37241/26902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37241/26902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37241 ÷ 216
    37241 ÷ 65536     		x = 0.568252563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26902 ÷ 216
    26902 ÷ 65536     		y = 0.410491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568252563476562 × 2 - 1) × π
    0.136505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42884350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410491943359375 × 2 - 1) × π
    0.17901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.562395706342499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42884350} λ = 0.42884350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562395706342499))-π/2
    2×atan(1.75487162543569)-π/2
    2×1.05284687007272-π/2
    2.10569374014544-1.57079632675     		φ = 0.53489741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42884350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.570923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53489741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.647364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37241 KachelY 26902 0.42884350 0.53489741 24.570923 30.647364
    Oben rechts KachelX + 1 37242 KachelY 26902 0.42893938 0.53489741 24.576416 30.647364
    Unten links KachelX 37241 KachelY + 1 26903 0.42884350 0.53481493 24.570923 30.642638
    Unten rechts KachelX + 1 37242 KachelY + 1 26903 0.42893938 0.53481493 24.576416 30.642638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53489741-0.53481493) × R
    8.24799999999959e-05 × 6371000     		dl = 525.480079999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53489741-0.53481493) × R
    8.24799999999959e-05 × 6371000     		dr = 525.480079999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42884350-0.42893938) × cos(0.53489741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.860320929339861 × 6371000     		do = 525.528312962189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42884350-0.42893938) × cos(0.53481493) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.860362970822895 × 6371000     		du = 525.553994064322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53489741)-sin(0.53481493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860320929339861-0.860362970822895)×R²
    abs(0.42893938-0.42884350)×4.20414830338833e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.20414830338833e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.20414830338833e-05×40589641000000     		ar = 276161.407548197m²