Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3724 / 2412
↖ ↑ ↗
← N 59.265881°
W 16.347656°		 ← 2 497.27 m → N 59.265881°
W 16.303711°		 →
↑
2 498.07 m
↓
↑
2 498.07 m
↓
N 59.243415°
W 16.347656°		 ← 2 498.91 m →
6 240 400 m²		 N 59.243415°
W 16.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45465087890625 y=0.29449462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45465087890625 × 213)
    floor (0.45465087890625 × 8192)
    floor (3724.5)     		tx = 3724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29449462890625 × 213)
    floor (0.29449462890625 × 8192)
    floor (2412.5)     		ty = 2412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3724 / 2412 ti = "13/3724/2412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3724/2412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3724 ÷ 213
    3724 ÷ 8192     		x = 0.45458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2412 ÷ 213
    2412 ÷ 8192     		y = 0.29443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29443359375 × 2 - 1) × π
    0.4111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29161182336279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28532043} λ = -0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29161182336279))-π/2
    2×atan(3.63864668747531)-π/2
    2×1.30259053891653-π/2
    2.60518107783306-1.57079632675     		φ = 1.03438475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03438475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.265881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3724 KachelY 2412 -0.28532043 1.03438475 -16.347656 59.265881
    Oben rechts KachelX + 1 3725 KachelY 2412 -0.28455344 1.03438475 -16.303711 59.265881
    Unten links KachelX 3724 KachelY + 1 2413 -0.28532043 1.03399265 -16.347656 59.243415
    Unten rechts KachelX + 1 3725 KachelY + 1 2413 -0.28455344 1.03399265 -16.303711 59.243415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03438475-1.03399265) × R
    0.000392100000000006 × 6371000     		dl = 2498.06910000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03438475-1.03399265) × R
    0.000392100000000006 × 6371000     		dr = 2498.06910000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28532043--0.28455344) × cos(1.03438475) × R
    0.000766990000000023 × 0.511054866318333 × 6371000     		do = 2497.26617508645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28532043--0.28455344) × cos(1.03399265) × R
    0.000766990000000023 × 0.51139185583143 × 6371000     		du = 2498.912872081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03438475)-sin(1.03399265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511054866318333-0.51139185583143)×R²
    abs(-0.28455344--0.28532043)×0.000336989513097019×R²
    0.000766990000000023×0.000336989513097019×6371000²
    0.000766990000000023×0.000336989513097019×40589641000000     		ar = 6240400.32785146m²