Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37239 / 26701
↖ ↑ ↗
← N 31.592574°
E 24.559937°		 ← 520.27 m → N 31.592574°
E 24.565430°		 →
↑
520.32 m
↓
↑
520.32 m
↓
N 31.587894°
E 24.559937°		 ← 520.29 m →
270 711 m²		 N 31.587894°
E 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568229675292969 y=0.407432556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568229675292969 × 216)
    floor (0.568229675292969 × 65536)
    floor (37239.5)     		tx = 37239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407432556152344 × 216)
    floor (0.407432556152344 × 65536)
    floor (26701.5)     		ty = 26701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37239 / 26701 ti = "16/37239/26701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37239/26701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37239 ÷ 216
    37239 ÷ 65536     		x = 0.568222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26701 ÷ 216
    26701 ÷ 65536     		y = 0.407424926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568222045898438 × 2 - 1) × π
    0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407424926757812 × 2 - 1) × π
    0.185150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.581666339989761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42865176} λ = 0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581666339989761))-π/2
    2×atan(1.78901705902496)-π/2
    2×1.06109537790492-π/2
    2.12219075580984-1.57079632675     		φ = 0.55139443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55139443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.592574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37239 KachelY 26701 0.42865176 0.55139443 24.559937 31.592574
    Oben rechts KachelX + 1 37240 KachelY 26701 0.42874763 0.55139443 24.565430 31.592574
    Unten links KachelX 37239 KachelY + 1 26702 0.42865176 0.55131276 24.559937 31.587894
    Unten rechts KachelX + 1 37240 KachelY + 1 26702 0.42874763 0.55131276 24.565430 31.587894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55139443-0.55131276) × R
    8.16700000000337e-05 × 6371000     		dl = 520.319570000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55139443-0.55131276) × R
    8.16700000000337e-05 × 6371000     		dr = 520.319570000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42865176-0.42874763) × cos(0.55139443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851794842703933 × 6371000     		do = 520.265872472624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42865176-0.42874763) × cos(0.55131276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851837624775741 × 6371000     		du = 520.29200323886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55139443)-sin(0.55131276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851794842703933-0.851837624775741)×R²
    abs(0.42874763-0.42865176)×4.27820718086336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27820718086336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27820718086336e-05×40589641000000     		ar = 270711.313376033m²