Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37239 / 102663
↖ ↑ ↗
← S 70.850980°
W 77.720032°		 ← 100.19 m → S 70.850980°
W 77.717285°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
S 70.851881°
W 77.720032°		 ← 100.18 m →
10 040 m²		 S 70.851881°
W 77.717285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284114837646484 y=0.783260345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284114837646484 × 217)
    floor (0.284114837646484 × 131072)
    floor (37239.5)     		tx = 37239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783260345458984 × 217)
    floor (0.783260345458984 × 131072)
    floor (102663.5)     		ty = 102663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37239 / 102663 ti = "17/37239/102663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37239/102663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37239 ÷ 217
    37239 ÷ 131072     		x = 0.284111022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102663 ÷ 217
    102663 ÷ 131072     		y = 0.783256530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284111022949219 × 2 - 1) × π
    -0.431777954101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.35647045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783256530761719 × 2 - 1) × π
    -0.566513061523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.77975327219382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35647045} λ = -1.35647045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77975327219382))-π/2
    2×atan(0.168679760122021)-π/2
    2×0.167106721236915-π/2
    0.334213442473831-1.57079632675     		φ = -1.23658288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35647045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.720032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23658288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.850980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37239 KachelY 102663 -1.35647045 -1.23658288 -77.720032 -70.850980
    Oben rechts KachelX + 1 37240 KachelY 102663 -1.35642251 -1.23658288 -77.717285 -70.850980
    Unten links KachelX 37239 KachelY + 1 102664 -1.35647045 -1.23659861 -77.720032 -70.851881
    Unten rechts KachelX + 1 37240 KachelY + 1 102664 -1.35642251 -1.23659861 -77.717285 -70.851881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23658288--1.23659861) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dl = 100.215829999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23658288--1.23659861) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dr = 100.215829999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35647045--1.35642251) × cos(-1.23658288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328026239295383 × 6371000     		do = 100.187656876144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35647045--1.35642251) × cos(-1.23659861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328011379617537 × 6371000     		du = 100.183118348041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23658288)-sin(-1.23659861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328026239295383-0.328011379617537)×R²
    abs(-1.35642251--1.35647045)×1.48596778468679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48596778468679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48596778468679e-05×40589641000000     		ar = 10040.1617734834m²