Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37237 / 38747
↖ ↑ ↗
← S 31.179909°
E 24.548950°		 ← 522.56 m → S 31.179909°
E 24.554443°		 →
↑
522.61 m
↓
↑
522.61 m
↓
S 31.184609°
E 24.548950°		 ← 522.53 m →
273 088 m²		 S 31.184609°
E 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568199157714844 y=0.591239929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568199157714844 × 216)
    floor (0.568199157714844 × 65536)
    floor (37237.5)     		tx = 37237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591239929199219 × 216)
    floor (0.591239929199219 × 65536)
    floor (38747.5)     		ty = 38747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37237 / 38747 ti = "16/37237/38747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37237/38747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37237 ÷ 216
    37237 ÷ 65536     		x = 0.568191528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38747 ÷ 216
    38747 ÷ 65536     		y = 0.591232299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568191528320312 × 2 - 1) × π
    0.136383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42846001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591232299804688 × 2 - 1) × π
    -0.182464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.573229445656631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42846001} λ = 0.42846001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573229445656631))-π/2
    2×atan(0.563702050878478)-π/2
    2×0.513302121919021-π/2
    1.02660424383804-1.57079632675     		φ = -0.54419208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42846001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.548950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54419208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.179909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37237 KachelY 38747 0.42846001 -0.54419208 24.548950 -31.179909
    Oben rechts KachelX + 1 37238 KachelY 38747 0.42855588 -0.54419208 24.554443 -31.179909
    Unten links KachelX 37237 KachelY + 1 38748 0.42846001 -0.54427411 24.548950 -31.184609
    Unten rechts KachelX + 1 37238 KachelY + 1 38748 0.42855588 -0.54427411 24.554443 -31.184609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54419208--0.54427411) × R
    8.20300000000662e-05 × 6371000     		dl = 522.613130000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54419208--0.54427411) × R
    8.20300000000662e-05 × 6371000     		dr = 522.613130000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42846001-0.42855588) × cos(-0.54419208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855545851993022 × 6371000     		do = 522.556943071556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42846001-0.42855588) × cos(-0.54427411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855503379964959 × 6371000     		du = 522.531001676248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54419208)-sin(-0.54427411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855545851993022-0.855503379964959)×R²
    abs(0.42855588-0.42846001)×4.24720280634006e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24720280634006e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24720280634006e-05×40589641000000     		ar = 273088.341118283m²