Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37237 / 26889
↖ ↑ ↗
← N 30.708781°
E 24.548950°		 ← 525.14 m → N 30.708781°
E 24.554443°		 →
↑
525.16 m
↓
↑
525.16 m
↓
N 30.704058°
E 24.548950°		 ← 525.17 m →
275 790 m²		 N 30.704058°
E 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568199157714844 y=0.410301208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568199157714844 × 216)
    floor (0.568199157714844 × 65536)
    floor (37237.5)     		tx = 37237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410301208496094 × 216)
    floor (0.410301208496094 × 65536)
    floor (26889.5)     		ty = 26889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37237 / 26889 ti = "16/37237/26889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37237/26889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37237 ÷ 216
    37237 ÷ 65536     		x = 0.568191528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26889 ÷ 216
    26889 ÷ 65536     		y = 0.410293579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568191528320312 × 2 - 1) × π
    0.136383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42846001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410293579101562 × 2 - 1) × π
    0.179412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.56364206573262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42846001} λ = 0.42846001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.56364206573262))-π/2
    2×atan(1.75706018975004)-π/2
    2×1.0533828342269-π/2
    2.1067656684538-1.57079632675     		φ = 0.53596934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42846001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.548950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53596934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.708781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37237 KachelY 26889 0.42846001 0.53596934 24.548950 30.708781
    Oben rechts KachelX + 1 37238 KachelY 26889 0.42855588 0.53596934 24.554443 30.708781
    Unten links KachelX 37237 KachelY + 1 26890 0.42846001 0.53588691 24.548950 30.704058
    Unten rechts KachelX + 1 37238 KachelY + 1 26890 0.42855588 0.53588691 24.554443 30.704058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53596934-0.53588691) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dl = 525.161529999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53596934-0.53588691) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dr = 525.161529999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42846001-0.42855588) × cos(0.53596934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859774015876202 × 6371000     		do = 525.139453860959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42846001-0.42855588) × cos(0.53588691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859816107870107 × 6371000     		du = 525.165163136051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53596934)-sin(0.53588691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859774015876202-0.859816107870107)×R²
    abs(0.42855588-0.42846001)×4.20919939048137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20919939048137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20919939048137e-05×40589641000000     		ar = 275789.789969978m²