Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37236 / 38797
↖ ↑ ↗
← S 31.414600°
E 24.543457°		 ← 521.26 m → S 31.414600°
E 24.548950°		 →
↑
521.28 m
↓
↑
521.28 m
↓
S 31.419288°
E 24.543457°		 ← 521.23 m →
271 712 m²		 S 31.419288°
E 24.548950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568183898925781 y=0.592002868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568183898925781 × 216)
    floor (0.568183898925781 × 65536)
    floor (37236.5)     		tx = 37236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592002868652344 × 216)
    floor (0.592002868652344 × 65536)
    floor (38797.5)     		ty = 38797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37236 / 38797 ti = "16/37236/38797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37236/38797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37236 ÷ 216
    37236 ÷ 65536     		x = 0.56817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38797 ÷ 216
    38797 ÷ 65536     		y = 0.591995239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56817626953125 × 2 - 1) × π
    0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591995239257812 × 2 - 1) × π
    -0.183990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578023135618637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42836414} λ = 0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578023135618637))-π/2
    2×atan(0.561006304464115)-π/2
    2×0.511254059394705-π/2
    1.02250811878941-1.57079632675     		φ = -0.54828821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54828821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.414600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37236 KachelY 38797 0.42836414 -0.54828821 24.543457 -31.414600
    Oben rechts KachelX + 1 37237 KachelY 38797 0.42846001 -0.54828821 24.548950 -31.414600
    Unten links KachelX 37236 KachelY + 1 38798 0.42836414 -0.54837003 24.543457 -31.419288
    Unten rechts KachelX + 1 37237 KachelY + 1 38798 0.42846001 -0.54837003 24.548950 -31.419288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54828821--0.54837003) × R
    8.18199999998992e-05 × 6371000     		dl = 521.275219999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54828821--0.54837003) × R
    8.18199999998992e-05 × 6371000     		dr = 521.275219999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42836414-0.42846001) × cos(-0.54828821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853418003350126 × 6371000     		do = 521.257279144065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42836414-0.42846001) × cos(-0.54837003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853375353690533 × 6371000     		du = 521.231229253591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54828821)-sin(-0.54837003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853418003350126-0.853375353690533)×R²
    abs(0.42846001-0.42836414)×4.2649659592775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2649659592775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2649659592775e-05×40589641000000     		ar = 271711.713432414m²