Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37235 / 38991
↖ ↑ ↗
← S 32.319634°
E 24.537964°		 ← 516.22 m → S 32.319634°
E 24.543457°		 →
↑
516.18 m
↓
↑
516.18 m
↓
S 32.324276°
E 24.537964°		 ← 516.19 m →
266 454 m²		 S 32.324276°
E 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568168640136719 y=0.594963073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568168640136719 × 216)
    floor (0.568168640136719 × 65536)
    floor (37235.5)     		tx = 37235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594963073730469 × 216)
    floor (0.594963073730469 × 65536)
    floor (38991.5)     		ty = 38991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37235 / 38991 ti = "16/37235/38991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37235/38991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37235 ÷ 216
    37235 ÷ 65536     		x = 0.568161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38991 ÷ 216
    38991 ÷ 65536     		y = 0.594955444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568161010742188 × 2 - 1) × π
    0.136322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42826826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594955444335938 × 2 - 1) × π
    -0.189910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.596622652671219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42826826} λ = 0.42826826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.596622652671219))-π/2
    2×atan(0.55066829713697)-π/2
    2×0.503356154144131-π/2
    1.00671230828826-1.57079632675     		φ = -0.56408402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42826826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.537964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56408402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.319634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37235 KachelY 38991 0.42826826 -0.56408402 24.537964 -32.319634
    Oben rechts KachelX + 1 37236 KachelY 38991 0.42836414 -0.56408402 24.543457 -32.319634
    Unten links KachelX 37235 KachelY + 1 38992 0.42826826 -0.56416504 24.537964 -32.324276
    Unten rechts KachelX + 1 37236 KachelY + 1 38992 0.42836414 -0.56416504 24.543457 -32.324276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56408402--0.56416504) × R
    8.10199999999872e-05 × 6371000     		dl = 516.178419999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56408402--0.56416504) × R
    8.10199999999872e-05 × 6371000     		dr = 516.178419999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42826826-0.42836414) × cos(-0.56408402) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845078676220854 × 6371000     		do = 516.21756008591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42826826-0.42836414) × cos(-0.56416504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845035356755228 × 6371000     		du = 516.191098326219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56408402)-sin(-0.56416504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845078676220854-0.845035356755228)×R²
    abs(0.42836414-0.42826826)×4.33194656261904e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33194656261904e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33194656261904e-05×40589641000000     		ar = 266453.53519249m²