Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37235 / 38777
↖ ↑ ↗
← S 31.320794°
E 24.537964°		 ← 521.83 m → S 31.320794°
E 24.543457°		 →
↑
521.78 m
↓
↑
521.78 m
↓
S 31.325487°
E 24.537964°		 ← 521.81 m →
272 277 m²		 S 31.325487°
E 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568168640136719 y=0.591697692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568168640136719 × 216)
    floor (0.568168640136719 × 65536)
    floor (37235.5)     		tx = 37235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591697692871094 × 216)
    floor (0.591697692871094 × 65536)
    floor (38777.5)     		ty = 38777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37235 / 38777 ti = "16/37235/38777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37235/38777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37235 ÷ 216
    37235 ÷ 65536     		x = 0.568161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38777 ÷ 216
    38777 ÷ 65536     		y = 0.591690063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568161010742188 × 2 - 1) × π
    0.136322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42826826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591690063476562 × 2 - 1) × π
    -0.183380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.576105659633835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42826826} λ = 0.42826826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576105659633835))-π/2
    2×atan(0.562083052569657)-π/2
    2×0.512072672302769-π/2
    1.02414534460554-1.57079632675     		φ = -0.54665098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42826826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.537964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54665098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.320794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37235 KachelY 38777 0.42826826 -0.54665098 24.537964 -31.320794
    Oben rechts KachelX + 1 37236 KachelY 38777 0.42836414 -0.54665098 24.543457 -31.320794
    Unten links KachelX 37235 KachelY + 1 38778 0.42826826 -0.54673288 24.537964 -31.325487
    Unten rechts KachelX + 1 37236 KachelY + 1 38778 0.42836414 -0.54673288 24.543457 -31.325487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54665098--0.54673288) × R
    8.18999999999681e-05 × 6371000     		dl = 521.784899999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54665098--0.54673288) × R
    8.18999999999681e-05 × 6371000     		dr = 521.784899999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42826826-0.42836414) × cos(-0.54665098) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854270227845383 × 6371000     		do = 521.83223299925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42826826-0.42836414) × cos(-0.54673288) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85422765097042 × 6371000     		du = 521.806224852164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54665098)-sin(-0.54673288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854270227845383-0.85422765097042)×R²
    abs(0.42836414-0.42826826)×4.25768749634514e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25768749634514e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25768749634514e-05×40589641000000     		ar = 272277.394334903m²