Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37234 / 38778
↖ ↑ ↗
← S 31.325487°
E 24.532471°		 ← 521.75 m → S 31.325487°
E 24.537964°		 →
↑
521.78 m
↓
↑
521.78 m
↓
S 31.330179°
E 24.532471°		 ← 521.73 m →
272 235 m²		 S 31.330179°
E 24.537964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568153381347656 y=0.591712951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568153381347656 × 216)
    floor (0.568153381347656 × 65536)
    floor (37234.5)     		tx = 37234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591712951660156 × 216)
    floor (0.591712951660156 × 65536)
    floor (38778.5)     		ty = 38778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37234 / 38778 ti = "16/37234/38778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37234/38778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37234 ÷ 216
    37234 ÷ 65536     		x = 0.568145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38778 ÷ 216
    38778 ÷ 65536     		y = 0.591705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568145751953125 × 2 - 1) × π
    0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.18341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.576201533433075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42817239} λ = 0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576201533433075))-π/2
    2×atan(0.562029166115109)-π/2
    2×0.512031722257151-π/2
    1.0240634445143-1.57079632675     		φ = -0.54673288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54673288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.325487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37234 KachelY 38778 0.42817239 -0.54673288 24.532471 -31.325487
    Oben rechts KachelX + 1 37235 KachelY 38778 0.42826826 -0.54673288 24.537964 -31.325487
    Unten links KachelX 37234 KachelY + 1 38779 0.42817239 -0.54681478 24.532471 -31.330179
    Unten rechts KachelX + 1 37235 KachelY + 1 38779 0.42826826 -0.54681478 24.537964 -31.330179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54673288--0.54681478) × R
    8.18999999999681e-05 × 6371000     		dl = 521.784899999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54673288--0.54681478) × R
    8.18999999999681e-05 × 6371000     		dr = 521.784899999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42817239-0.42826826) × cos(-0.54673288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85422765097042 × 6371000     		do = 521.75180200855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42817239-0.42826826) × cos(-0.54681478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854185068365631 × 6371000     		du = 521.72579307433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54673288)-sin(-0.54681478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85422765097042-0.854185068365631)×R²
    abs(0.42826826-0.42817239)×4.25826047892874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25826047892874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25826047892874e-05×40589641000000     		ar = 272235.426453559m²