Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37233 / 38776
↖ ↑ ↗
← S 31.316101°
E 24.526977°		 ← 521.86 m → S 31.316101°
E 24.532471°		 →
↑
521.78 m
↓
↑
521.78 m
↓
S 31.320794°
E 24.526977°		 ← 521.83 m →
272 291 m²		 S 31.320794°
E 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568138122558594 y=0.591682434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568138122558594 × 216)
    floor (0.568138122558594 × 65536)
    floor (37233.5)     		tx = 37233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591682434082031 × 216)
    floor (0.591682434082031 × 65536)
    floor (38776.5)     		ty = 38776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37233 / 38776 ti = "16/37233/38776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37233/38776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37233 ÷ 216
    37233 ÷ 65536     		x = 0.568130493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38776 ÷ 216
    38776 ÷ 65536     		y = 0.5916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568130493164062 × 2 - 1) × π
    0.136260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42807651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576009785834595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42807651} λ = 0.42807651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576009785834595))-π/2
    2×atan(0.562136944190751)-π/2
    2×0.512113624389306-π/2
    1.02422724877861-1.57079632675     		φ = -0.54656908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42807651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.526977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54656908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.316101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37233 KachelY 38776 0.42807651 -0.54656908 24.526977 -31.316101
    Oben rechts KachelX + 1 37234 KachelY 38776 0.42817239 -0.54656908 24.532471 -31.316101
    Unten links KachelX 37233 KachelY + 1 38777 0.42807651 -0.54665098 24.526977 -31.320794
    Unten rechts KachelX + 1 37234 KachelY + 1 38777 0.42817239 -0.54665098 24.532471 -31.320794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54656908--0.54665098) × R
    8.18999999999681e-05 × 6371000     		dl = 521.784899999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54656908--0.54665098) × R
    8.18999999999681e-05 × 6371000     		dr = 521.784899999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42807651-0.42817239) × cos(-0.54656908) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854312798990235 × 6371000     		do = 521.858237646088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42807651-0.42817239) × cos(-0.54665098) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854270227845383 × 6371000     		du = 521.83223299925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54656908)-sin(-0.54665098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854312798990235-0.854270227845383)×R²
    abs(0.42817239-0.42807651)×4.2571144851844e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2571144851844e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2571144851844e-05×40589641000000     		ar = 272290.96408051m²