Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37232 / 28175
↖ ↑ ↗
← N 24.452150°
E 24.521484°		 ← 556 m → N 24.452150°
E 24.526977°		 →
↑
556.06 m
↓
↑
556.06 m
↓
N 24.447149°
E 24.521484°		 ← 556.03 m →
309 179 m²		 N 24.447149°
E 24.526977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568122863769531 y=0.429924011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568122863769531 × 216)
    floor (0.568122863769531 × 65536)
    floor (37232.5)     		tx = 37232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429924011230469 × 216)
    floor (0.429924011230469 × 65536)
    floor (28175.5)     		ty = 28175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37232 / 28175 ti = "16/37232/28175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37232/28175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37232 ÷ 216
    37232 ÷ 65536     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28175 ÷ 216
    28175 ÷ 65536     		y = 0.429916381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429916381835938 × 2 - 1) × π
    0.140167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.440348359909836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440348359909836))-π/2
    2×atan(1.55324821368302)-π/2
    2×0.998783428100422-π/2
    1.99756685620084-1.57079632675     		φ = 0.42677053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42677053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.452150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37232 KachelY 28175 0.42798064 0.42677053 24.521484 24.452150
    Oben rechts KachelX + 1 37233 KachelY 28175 0.42807651 0.42677053 24.526977 24.452150
    Unten links KachelX 37232 KachelY + 1 28176 0.42798064 0.42668325 24.521484 24.447149
    Unten rechts KachelX + 1 37233 KachelY + 1 28176 0.42807651 0.42668325 24.526977 24.447149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42677053-0.42668325) × R
    8.72799999999674e-05 × 6371000     		dl = 556.060879999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42677053-0.42668325) × R
    8.72799999999674e-05 × 6371000     		dr = 556.060879999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42807651) × cos(0.42677053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910307279070721 × 6371000     		do = 556.004552998361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42807651) × cos(0.42668325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910343403689266 × 6371000     		du = 556.026617473564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42677053)-sin(0.42668325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910307279070721-0.910343403689266)×R²
    abs(0.42807651-0.42798064)×3.61246185447417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61246185447417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61246185447417e-05×40589641000000     		ar = 309178.515816236m²