Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37232 / 27673
↖ ↑ ↗
← N 26.936762°
E 24.521484°		 ← 544.52 m → N 26.936762°
E 24.526977°		 →
↑
544.53 m
↓
↑
544.53 m
↓
N 26.931865°
E 24.521484°		 ← 544.55 m →
296 514 m²		 N 26.931865°
E 24.526977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568122863769531 y=0.422264099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568122863769531 × 216)
    floor (0.568122863769531 × 65536)
    floor (37232.5)     		tx = 37232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422264099121094 × 216)
    floor (0.422264099121094 × 65536)
    floor (27673.5)     		ty = 27673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37232 / 27673 ti = "16/37232/27673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37232/27673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37232 ÷ 216
    37232 ÷ 65536     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27673 ÷ 216
    27673 ÷ 65536     		y = 0.422256469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422256469726562 × 2 - 1) × π
    0.155487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.488477007128372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488477007128372))-π/2
    2×atan(1.62983210611214)-π/2
    2×1.02046576074437-π/2
    2.04093152148874-1.57079632675     		φ = 0.47013519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47013519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.936762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37232 KachelY 27673 0.42798064 0.47013519 24.521484 26.936762
    Oben rechts KachelX + 1 37233 KachelY 27673 0.42807651 0.47013519 24.526977 26.936762
    Unten links KachelX 37232 KachelY + 1 27674 0.42798064 0.47004972 24.521484 26.931865
    Unten rechts KachelX + 1 37233 KachelY + 1 27674 0.42807651 0.47004972 24.526977 26.931865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47013519-0.47004972) × R
    8.54699999999764e-05 × 6371000     		dl = 544.52936999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47013519-0.47004972) × R
    8.54699999999764e-05 × 6371000     		dr = 544.52936999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42807651) × cos(0.47013519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891507054351294 × 6371000     		do = 544.521605666484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42807651) × cos(0.47004972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891545769587216 × 6371000     		du = 544.545252459097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47013519)-sin(0.47004972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891507054351294-0.891545769587216)×R²
    abs(0.42807651-0.42798064)×3.87152359215825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87152359215825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87152359215825e-05×40589641000000     		ar = 296514.445251958m²