Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37231 / 38759
↖ ↑ ↗
← S 31.236288°
E 24.515991°		 ← 522.25 m → S 31.236288°
E 24.521484°		 →
↑
522.29 m
↓
↑
522.29 m
↓
S 31.240986°
E 24.515991°		 ← 522.22 m →
272 759 m²		 S 31.240986°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568107604980469 y=0.591423034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568107604980469 × 216)
    floor (0.568107604980469 × 65536)
    floor (37231.5)     		tx = 37231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591423034667969 × 216)
    floor (0.591423034667969 × 65536)
    floor (38759.5)     		ty = 38759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37231 / 38759 ti = "16/37231/38759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37231/38759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37231 ÷ 216
    37231 ÷ 65536     		x = 0.568099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38759 ÷ 216
    38759 ÷ 65536     		y = 0.591415405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568099975585938 × 2 - 1) × π
    0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591415405273438 × 2 - 1) × π
    -0.182830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.574379931247513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42788477} λ = 0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574379931247513))-π/2
    2×atan(0.563053892711201)-π/2
    2×0.512810121953169-π/2
    1.02562024390634-1.57079632675     		φ = -0.54517608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54517608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.236288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37231 KachelY 38759 0.42788477 -0.54517608 24.515991 -31.236288
    Oben rechts KachelX + 1 37232 KachelY 38759 0.42798064 -0.54517608 24.521484 -31.236288
    Unten links KachelX 37231 KachelY + 1 38760 0.42788477 -0.54525806 24.515991 -31.240986
    Unten rechts KachelX + 1 37232 KachelY + 1 38760 0.42798064 -0.54525806 24.521484 -31.240986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54517608--0.54525806) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dl = 522.294580000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54517608--0.54525806) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dr = 522.294580000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42788477-0.42798064) × cos(-0.54517608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855035994467372 × 6371000     		do = 522.245528330447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42788477-0.42798064) × cos(-0.54525806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854993479335995 × 6371000     		du = 522.219560608162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54517608)-sin(-0.54525806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855035994467372-0.854993479335995)×R²
    abs(0.42798064-0.42788477)×4.25151313773187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25151313773187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25151313773187e-05×40589641000000     		ar = 272759.227628829m²