Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37231 / 38369
↖ ↑ ↗
← S 29.386962°
E 24.515991°		 ← 532.19 m → S 29.386962°
E 24.521484°		 →
↑
532.17 m
↓
↑
532.17 m
↓
S 29.391748°
E 24.515991°		 ← 532.17 m →
283 211 m²		 S 29.391748°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568107604980469 y=0.585472106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568107604980469 × 216)
    floor (0.568107604980469 × 65536)
    floor (37231.5)     		tx = 37231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585472106933594 × 216)
    floor (0.585472106933594 × 65536)
    floor (38369.5)     		ty = 38369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37231 / 38369 ti = "16/37231/38369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37231/38369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37231 ÷ 216
    37231 ÷ 65536     		x = 0.568099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38369 ÷ 216
    38369 ÷ 65536     		y = 0.585464477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568099975585938 × 2 - 1) × π
    0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585464477539062 × 2 - 1) × π
    -0.170928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.536989149543869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42788477} λ = 0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536989149543869))-π/2
    2×atan(0.584505464239073)-π/2
    2×0.528948545549232-π/2
    1.05789709109846-1.57079632675     		φ = -0.51289924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51289924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.386962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37231 KachelY 38369 0.42788477 -0.51289924 24.515991 -29.386962
    Oben rechts KachelX + 1 37232 KachelY 38369 0.42798064 -0.51289924 24.521484 -29.386962
    Unten links KachelX 37231 KachelY + 1 38370 0.42788477 -0.51298277 24.515991 -29.391748
    Unten rechts KachelX + 1 37232 KachelY + 1 38370 0.42798064 -0.51298277 24.521484 -29.391748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51289924--0.51298277) × R
    8.35300000000538e-05 × 6371000     		dl = 532.169630000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51289924--0.51298277) × R
    8.35300000000538e-05 × 6371000     		dr = 532.169630000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42788477-0.42798064) × cos(-0.51289924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871325498662489 × 6371000     		do = 532.194958272188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42788477-0.42798064) × cos(-0.51298277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87128450699344 × 6371000     		du = 532.169921062061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51289924)-sin(-0.51298277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871325498662489-0.87128450699344)×R²
    abs(0.42798064-0.42788477)×4.09916690489176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09916690489176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09916690489176e-05×40589641000000     		ar = 283211.332175172m²