Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37230 / 38786
↖ ↑ ↗
← S 31.363019°
E 24.510498°		 ← 521.60 m → S 31.363019°
E 24.515991°		 →
↑
521.53 m
↓
↑
521.53 m
↓
S 31.367709°
E 24.510498°		 ← 521.57 m →
272 022 m²		 S 31.367709°
E 24.515991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568092346191406 y=0.591835021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568092346191406 × 216)
    floor (0.568092346191406 × 65536)
    floor (37230.5)     		tx = 37230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591835021972656 × 216)
    floor (0.591835021972656 × 65536)
    floor (38786.5)     		ty = 38786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37230 / 38786 ti = "16/37230/38786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37230/38786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37230 ÷ 216
    37230 ÷ 65536     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38786 ÷ 216
    38786 ÷ 65536     		y = 0.591827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.18365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.576968523826996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576968523826996))-π/2
    2×atan(0.561598260414986)-π/2
    2×0.511704195386041-π/2
    1.02340839077208-1.57079632675     		φ = -0.54738794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54738794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.363019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37230 KachelY 38786 0.42778889 -0.54738794 24.510498 -31.363019
    Oben rechts KachelX + 1 37231 KachelY 38786 0.42788477 -0.54738794 24.515991 -31.363019
    Unten links KachelX 37230 KachelY + 1 38787 0.42778889 -0.54746980 24.510498 -31.367709
    Unten rechts KachelX + 1 37231 KachelY + 1 38787 0.42788477 -0.54746980 24.515991 -31.367709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54738794--0.54746980) × R
    8.18599999999892e-05 × 6371000     		dl = 521.530059999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54738794--0.54746980) × R
    8.18599999999892e-05 × 6371000     		dr = 521.530059999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42788477) × cos(-0.54738794) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.85388690258519 × 6371000     		do = 521.598078197041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42788477) × cos(-0.54746980) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.85384429498301 × 6371000     		du = 521.57205128019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54738794)-sin(-0.54746980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85388690258519-0.85384429498301)×R²
    abs(0.42788477-0.42778889)×4.26076021798893e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.26076021798893e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.26076021798893e-05×40589641000000     		ar = 272022.290260106m²