Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37230 / 38370
↖ ↑ ↗
← S 29.391748°
E 24.510498°		 ← 532.23 m → S 29.391748°
E 24.515991°		 →
↑
532.17 m
↓
↑
532.17 m
↓
S 29.396534°
E 24.510498°		 ← 532.20 m →
283 228 m²		 S 29.396534°
E 24.515991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568092346191406 y=0.585487365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568092346191406 × 216)
    floor (0.568092346191406 × 65536)
    floor (37230.5)     		tx = 37230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585487365722656 × 216)
    floor (0.585487365722656 × 65536)
    floor (38370.5)     		ty = 38370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37230 / 38370 ti = "16/37230/38370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37230/38370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37230 ÷ 216
    37230 ÷ 65536     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38370 ÷ 216
    38370 ÷ 65536     		y = 0.585479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.17095947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.537085023343109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537085023343109))-π/2
    2×atan(0.584449428165778)-π/2
    2×0.528906777888718-π/2
    1.05781355577744-1.57079632675     		φ = -0.51298277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51298277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.391748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37230 KachelY 38370 0.42778889 -0.51298277 24.510498 -29.391748
    Oben rechts KachelX + 1 37231 KachelY 38370 0.42788477 -0.51298277 24.515991 -29.391748
    Unten links KachelX 37230 KachelY + 1 38371 0.42778889 -0.51306630 24.510498 -29.396534
    Unten rechts KachelX + 1 37231 KachelY + 1 38371 0.42788477 -0.51306630 24.515991 -29.396534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51298277--0.51306630) × R
    8.35299999999428e-05 × 6371000     		dl = 532.169629999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51298277--0.51306630) × R
    8.35299999999428e-05 × 6371000     		dr = 532.169629999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42788477) × cos(-0.51298277) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.87128450699344 × 6371000     		do = 532.22543059828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42788477) × cos(-0.51306630) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.871243509245211 × 6371000     		du = 532.200387063098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51298277)-sin(-0.51306630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87128450699344-0.871243509245211)×R²
    abs(0.42788477-0.42778889)×4.09977482281887e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.09977482281887e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.09977482281887e-05×40589641000000     		ar = 283227.546938013m²