Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37230 / 26710
↖ ↑ ↗
← N 31.550453°
E 24.510498°		 ← 520.56 m → N 31.550453°
E 24.515991°		 →
↑
520.51 m
↓
↑
520.51 m
↓
N 31.545772°
E 24.510498°		 ← 520.58 m →
270 961 m²		 N 31.545772°
E 24.515991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568092346191406 y=0.407569885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568092346191406 × 216)
    floor (0.568092346191406 × 65536)
    floor (37230.5)     		tx = 37230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407569885253906 × 216)
    floor (0.407569885253906 × 65536)
    floor (26710.5)     		ty = 26710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37230 / 26710 ti = "16/37230/26710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37230/26710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37230 ÷ 216
    37230 ÷ 65536     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26710 ÷ 216
    26710 ÷ 65536     		y = 0.407562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407562255859375 × 2 - 1) × π
    0.18487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.5808034757966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5808034757966))-π/2
    2×atan(1.78747404606483)-π/2
    2×1.06072780323119-π/2
    2.12145560646238-1.57079632675     		φ = 0.55065928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55065928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.550453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37230 KachelY 26710 0.42778889 0.55065928 24.510498 31.550453
    Oben rechts KachelX + 1 37231 KachelY 26710 0.42788477 0.55065928 24.515991 31.550453
    Unten links KachelX 37230 KachelY + 1 26711 0.42778889 0.55057758 24.510498 31.545772
    Unten rechts KachelX + 1 37231 KachelY + 1 26711 0.42788477 0.55057758 24.515991 31.545772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55065928-0.55057758) × R
    8.16999999999624e-05 × 6371000     		dl = 520.51069999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55065928-0.55057758) × R
    8.16999999999624e-05 × 6371000     		dr = 520.51069999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42788477) × cos(0.55065928) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.852179739573244 × 6371000     		do = 520.555255144592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42788477) × cos(0.55057758) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.852222486186092 × 6371000     		du = 520.581366976315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55065928)-sin(0.55057758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852179739573244-0.852222486186092)×R²
    abs(0.42788477-0.42778889)×4.27466128476439e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.27466128476439e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.27466128476439e-05×40589641000000     		ar = 270961.376138459m²