Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3723 / 3658
↖ ↑ ↗
← S 80.327506°
E147.216797°		 ← 1 642.02 m → S 80.327506°
E147.304687°		 →
↑
1 640.79 m
↓
↑
1 640.79 m
↓
S 80.342262°
E147.216797°		 ← 1 639.54 m →
2 692 169 m²		 S 80.342262°
E147.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9090576171875 y=0.8931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9090576171875 × 212)
    floor (0.9090576171875 × 4096)
    floor (3723.5)     		tx = 3723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8931884765625 × 212)
    floor (0.8931884765625 × 4096)
    floor (3658.5)     		ty = 3658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3723 / 3658 ti = "12/3723/3658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3723/3658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3723 ÷ 212
    3723 ÷ 4096     		x = 0.908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3658 ÷ 212
    3658 ÷ 4096     		y = 0.89306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908935546875 × 2 - 1) × π
    0.81787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56941782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89306640625 × 2 - 1) × π
    -0.7861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56941782} λ = 2.56941782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46970906842529))-π/2
    2×atan(0.0846094709878188)-π/2
    2×0.0844084340842337-π/2
    0.168816868168467-1.57079632675     		φ = -1.40197946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56941782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40197946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.327506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3723 KachelY 3658 2.56941782 -1.40197946 147.216797 -80.327506
    Oben rechts KachelX + 1 3724 KachelY 3658 2.57095180 -1.40197946 147.304687 -80.327506
    Unten links KachelX 3723 KachelY + 1 3659 2.56941782 -1.40223700 147.216797 -80.342262
    Unten rechts KachelX + 1 3724 KachelY + 1 3659 2.57095180 -1.40223700 147.304687 -80.342262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40197946--1.40223700) × R
    0.000257540000000001 × 6371000     		dl = 1640.78734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40197946--1.40223700) × R
    0.000257540000000001 × 6371000     		dr = 1640.78734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56941782-2.57095180) × cos(-1.40197946) × R
    0.00153398000000005 × 0.168016152863802 × 6371000     		do = 1642.01960716122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56941782-2.57095180) × cos(-1.40223700) × R
    0.00153398000000005 × 0.167762268420854 × 6371000     		du = 1639.53839790741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40197946)-sin(-1.40223700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168016152863802-0.167762268420854)×R²
    abs(2.57095180-2.56941782)×0.000253884442947938×R²
    0.00153398000000005×0.000253884442947938×6371000²
    0.00153398000000005×0.000253884442947938×40589641000000     		ar = 2692169.42997631m²