Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37229 / 38805
↖ ↑ ↗
← S 31.452096°
E 24.505005°		 ← 521.05 m → S 31.452096°
E 24.510498°		 →
↑
521.08 m
↓
↑
521.08 m
↓
S 31.456783°
E 24.505005°		 ← 521.02 m →
271 503 m²		 S 31.456783°
E 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568077087402344 y=0.592124938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568077087402344 × 216)
    floor (0.568077087402344 × 65536)
    floor (37229.5)     		tx = 37229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592124938964844 × 216)
    floor (0.592124938964844 × 65536)
    floor (38805.5)     		ty = 38805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37229 / 38805 ti = "16/37229/38805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37229/38805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37229 ÷ 216
    37229 ÷ 65536     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38805 ÷ 216
    38805 ÷ 65536     		y = 0.592117309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592117309570312 × 2 - 1) × π
    -0.184234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578790126012558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578790126012558))-π/2
    2×atan(0.560576182988268)-π/2
    2×0.510926843123382-π/2
    1.02185368624676-1.57079632675     		φ = -0.54894264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54894264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.452096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37229 KachelY 38805 0.42769302 -0.54894264 24.505005 -31.452096
    Oben rechts KachelX + 1 37230 KachelY 38805 0.42778889 -0.54894264 24.510498 -31.452096
    Unten links KachelX 37229 KachelY + 1 38806 0.42769302 -0.54902443 24.505005 -31.456783
    Unten rechts KachelX + 1 37230 KachelY + 1 38806 0.42778889 -0.54902443 24.510498 -31.456783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54894264--0.54902443) × R
    8.17899999999705e-05 × 6371000     		dl = 521.084089999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54894264--0.54902443) × R
    8.17899999999705e-05 × 6371000     		dr = 521.084089999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42778889) × cos(-0.54894264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853076713959408 × 6371000     		do = 521.048823758183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42778889) × cos(-0.54902443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85303403426909 × 6371000     		du = 521.02275552531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54894264)-sin(-0.54902443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853076713959408-0.85303403426909)×R²
    abs(0.42778889-0.42769302)×4.26796903176818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26796903176818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26796903176818e-05×40589641000000     		ar = 271503.46045427m²